1。2。1幂级数赋值法

将常数项化为x构造一个幂级数函数,求得幂级数的和函数后求数项级数的和是比较简单的,只将常数赋值给x即可得到级数的和。

例5  求的和。

解  考虑幂级数,其收敛域为[-1,1),设其和函数为,则任意x(-1,1),===,于是  故。

例6  求级数的和。解  将原式变形得

考虑幂函数===,故。

1。2。2直接构造函数法

这是保持级数中的数项不变,直接构建一个幂级数函数的一种方法,要知道求一个幂级数和函数不是件简单的事,所以在求幂级数的和函数时通常要通过逐项微分或逐项积分来计算级数的和。例7  求级数。

解  令=,,这样构造幂级数,是为了消去系数中的因子,逐项积分得到：

===即。上式对两边x求导  =,故==3。

1。3 利用泰勒级数展开求级数的和

了解熟悉的初等函数,,的展开式,若有必要时将其变形,再利用幂级数的性质,观察初等函数展开式的形式,将函数代替原来的展开式便得到级数的和。

下面为一些常用的初等函数展开式

根据这些熟悉的函数展开式,有必要时将其变形,进而求数项级数的和。

例8  求级数的和。来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

解  已知,例9  求级数的和。

解  因为故该级数的和为。

1。4 根据级数的乘积求级数的和

定义[2]   若级数各项绝对值所组成的级数

收敛,则称原级数为绝对收敛级数。

定理[2]   设有收敛级数

若级数、都绝对收敛,则所以乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛,则其和等于AB。

 如果级数可看做是两个级数的乘积,可将所求级数问题化为先求两个级数积,将整体化为部分,然后求两级数和,再计算他们的乘积便得到所要求级数的和。下面根据定义以及例题来讨论利用级数的乘积求级数和的方法。