图1:Radon变换示意图

,故根据对弧长曲线积分的计算公式,式(1)表示的Radon变换也可写为:

。Radon运用平均值的思想,建成Abel积分方程并解之,获得求逆公式。结合Radon变换性质,得到其逆变换的解析表达式:

,             (3)

式中是的极坐标,而为式(1)中Radon变换积分直线L的参数。

从求逆公式(3)易见。积分当是发散,因此,Radon求逆公式中的积分可以理解为柯西主值意义下的积分。

式(3)还可以用状态算子方程表示:

式(4)中,表示Radon逆算子,B表示反投影算子,以及各自表示含两个变量的函数对它第一变量的Hillbert变换与偏导数,表达式:

2。CT图像滤波反投影重建算法

2。1平行束图像重建算法

    滤波反投影(filtered back projection,FBP)是现今普遍使用的图像重建算法之一。FBP算法是利用参数与重新确定积分限来表现的。

,

将空间直角坐标系(u,v)转化为极坐标系。令

则   由中心切片定理或可得

是换积分变量产生的雅克比因子,就形式而言构成了一种对投影数据作“高通滤波”的效果。令,即对投影进行滤波,滤波器称为斜坡滤波器。因此

。  上式描述了二维平行束投影的滤波反投影重建过程,即首先对各个视角的投影数据进行滤波,然后反投影累加来计算函数。表示投影角度为的滤波投影数据,其滤波算子在频域空间由来表示。

2。2扇形束图像重建算法文献综述

    设射线源S到旋转中心(即远点)的距离为D,,对物体进行等角度扇形束扫描,获得投影数据,此中,射线源S与旋转中心O连线与纵轴的角为,射线与中心线SO的夹角为。

    已知平行束重建算法为

,其中,为有限非零区间,当时,。

    令,则,将上式转换为极坐标形式为

,用,将平行束的变量替换成扇形束的变量。

 因为到已经覆盖了物体的整个360°,所以等效于从0到进行积分。等效于扇形束的最大幅角,而,因此可得到扇形束图像重建算法:

但是上述公式对的积分不是卷积的形式。

    要重建C点的数值,设SC与SO的夹角为,SC长度为。

则扇形束图像重建算法可以表示为

斜坡滤波器卷积核的性质:来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

因此可以得扇形束滤波反投影的算法:

    注意,斜坡滤波器卷积核的性质:,只有在频域积分区间为无限时才成立。若对斜坡虑波器进行加窗,变成有限宽带的函数,则该等式不成立。

2。3锥形束图像重建算法

    Grangeat算法理论

    设密度函数是上实的可积函数,用来表示被重建额物体,它的支撑是一个球心位于原点、半径为R的球,||R||≤R。曲线位于之外,有界、连续且处处可微,用来表示源点轨迹(是的取值范围)。满足Kirillov精确重建条件,即空间中的所有平面与轨迹相遇。 Kirillov条件的数学描述是:对全部(中单位向量的集合)和所有,都存在,使得成立。

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