对,此处右边总共有个因素。

则存在一个概率空间(,Ƒ,P)和上的随机过程。对任意的及任意的Borel集满足:。

2。2随机微分方程的基本理论

定义2。2。1(Itô积分)设。则的Itô积分定义为,这里极限是在中的极限意义。是基本函数序列且满足:E当时。 

推 论 2。2。2(Itô等距)对有   

推论2。2。3如果且,那么,当时,有       

上述极限是在中的极限。例题2。2。4假设。

证明 设,这里,则当时,有           =

所以,由推论2。2。3有现在

由,因此由此得出

因为在中,当时,,故原命题得证。

定理2。2。5设<<。那么

 对几乎所有的成立。

 (为常数)对几乎所有的成立。

    是可测的。

定义2。2。6在(,Ƒ)上的一个 代数流是一族代数且满足<(即是递增的)。 (,Ƒ,P)上的一个维随机过程相对于代数流称为鞅,如果满足:

 对所有的,是可测的。来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

  < 对所有的   

这里中的期望和中的条件期望都是在概率测度下取的。

定理2。2。7(Doob鞅不等式)如果是一个鞅且满足:几乎必然地连续。那么对所有的及>0,有

定理2。2。8设,则存在的一个连续的修正,即存在一个(,Ƒ,P)上的连续的随机过程使得,对所有的,。

定理2。2。9(1维Itô公式)设是一个如下的Itô过程:,那么也是一个过程,且满足:

这里由下面的规则来计算:

,。

定理2。2。10(分部积分)假定对几乎所有的关于是连续的且是有界变差。则有。

定理2。2。11(Itô表示定理)设则存在唯一的一个随机过程使得

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