激光声表面波用于人类龋齿特性的理论研究(4)
近年来有限元模型在激光超声中使用日益增多并同步发展，研究激光超声在材料中的传播特征可以更好的对材料做无损检测。建造激光作用在材料表面时超声波的理论模型则需考虑到材料本身的特性，从本构方程出发，选取合适的单元类型、网格划分进行有限元建模求解分析出超声波的传播特性。
2.2 激光超声的有限元模拟
激光与物质相互作用过程中产生的温度的主要物理过程是热传导，与周围空间的热对流和热辐射效应可以忽略不计。若将物质看作理想化的各向同性切均匀的介质，在激光和物质的相互作用过程中，温度和位移之间有相互耦合的特点和瞬态特征，我们可以根据具体问题将求解简化，可以将瞬态热弹性问题看成是准定常的，在某一时刻的热弹性问题可以按照温度场来求解，而温度场对于时间来讲，仍是变化的瞬态问题。
在激光激发超声过程中，激光和物质的相互作用过程的时间非常短、热流密度高，热-位移场的耦合效应对激光超声波的特性有明显的影响，所以不能用非耦合的热弹性理论求解。根据虚功原理，建立热弹性耦合微分方程的弱形式--积分方程，将其在空间域有限元离散后就可得到热弹性方程的有限元方程。
热传导方程的有限元形式：
(2.2.1)
上式中， 为热容矩阵， 为热传导矩阵， 为热流矢量， 为热源矢量， 为温度， 为温度随时间的变化率。对于声波的传播，若我们忽略阻尼，则有限元控制方程可以写为：
(2.2.2)
上式中， 为质量矩阵， 为刚度矩阵， 是位移矢量， 是加速度矢量， 是外力矢量。由于声波是由脉冲激光激发产生的，所以 是由激光在介质体内产生的温度变化而导致的等效载荷力，可由下式计算得来：
(2.2.3)
其中， 为应变位移矩阵，它是由网格离散化空间模型后所得的单元差值函数决定：
(2.2.4)
式中 分别为 方向的线性热膨胀系数； 是时间域离散计算时的每个时间子步之间的温度差，它也是从有限元方法模拟的介质温度场中得来。
因为被用于计算的样品都是各向同性介质，或者是近似的可以将其当作各项同性介质计算的，所以虽然模型是三文的，但由于各项同性材料和模型都具有良好的对称性，我们可以忽略 轴方向的模拟，只计算 平面。
在有限元模型中，高斯脉冲激光的时间和空间分布的特征将作为热流边界条件加载，激光在材料中产生的温度的主要物理过程为热传导，我们可以忽略材料与周围空间的热对流和热辐射效应，样品材料可以看作理想化的各向同性且各项均匀的介质。为了简化问题，我们把瞬态热弹性问题看成是准定常的，即第一时间的热弹性位移可以按照该时刻的温度场来进行求解，而温度场对时间来讲仍看成是变化的瞬态问题。
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