激光声表面波用于人类龋齿特性的理论研究(5)
2.3 热弹方程
当物体受到外力和温度的双重作用时，物体就会发生位移和应变，其热弹性行为可用四个平衡方程和三个本构方程来描述[3,20-22]。
平衡方程：
式中： 是材料变形后的密度， 0是材料的初始密度。
3. 动量守恒：
式中：U1是指位移场分量，e1j是指应变张量，s1j是指二阶应力张量， 是Kronecker符号， 和 分别是指材料变形后和为变形时的质量密度，q1是热流矢量，W和Q分别是指初始能量和和热源，b1是指外力矢量，T是指绝对温度， 是指熵能密度。
上面四个平衡方程都遵守热力学第二定律，由熵增加原理可得：
下面来看一下三个本构方程： (2.3.7)
（2.3.7）式中 是Helmholtz’s自由能。
在单层材料中，当脉冲激光辐照的能量未达到样品的融蚀阈值时，样品会吸收激光能量而产生局部热膨胀，从而产生瞬态位移场。位移满足下列方程：
(2.3.8)
上式中， 为瞬态位移， 和 是 常数， 是密度， 是热膨胀系数。在其上下表面 处满足边界条件：
(2.3.9)
上式中， 为垂直于表面的单位向量， 为单位张量， 为应力张量。同时模型需满足的初始条件可以表示为：
(2.3.10)
在层状材料中，当脉冲激光的辐照能量未达到样品的融熔阈值时，样品同样会吸收激光能量从而导致局部热膨胀，产生瞬态位移场，声波的传播满足Navier－stokes方程：
(2.3.11)
上式中， 是瞬态位移； 和 是 常数； 是密度； 是样品的热膨胀系数。
层状材料的上表面和下表面应力和位移则需满足自由边界条件：
(2.3.12)
(2.3.13)
上式中： 为垂直表面的单位矢量； 为单位张量； 为应力张量。
在层状材料的连接界面上，应力和位移应当是连续的：
(2.3.14)
对应初始条件则为：
2.4 激光作用的力函数
为了建立激光作用的等效力函数，我们来分析具有高斯分布的单脉冲激光光束的特性。由于在激光辐照与材料之间的能量交换中，热传导是主要过程，忽略了材料与外界的热对流和热辐射效应，故我们可以假设过程中材料所吸收的能量全部转化为热能。激光加热函数的空间分布采用高斯分布，所以材料所吸收的能量可以表示为：
其中： 为脉冲激光功率密度；a为高斯型激光线源的半宽； 分别为脉冲激光的空间分布和时间分布； 是激光脉冲的上升时间;R为光反射率； 为光吸收率；r、z分别为径向坐标和轴向坐标。
2.5 有限元模型
使用有限元方法分析激光超声问题，分析过程的有效性及计算结果的可靠性是该方法的两大核心问题，有限元方法分析问题包含三个方面：正确的有限元模型的建立、恰当的计算方法和对计算结果的合理解释，此方法的优点是能灵活地处理各种复杂的几何形状，并能考虑材料的物理参数随温度变化而产生的实际变化。有限元的求解过程是将样品离散为许多的不重叠的单元。在求解时，数值积分的稳定性取决于有限元模型的时间步长和单元长度，所以在建立模型的过程中，时间步长和单元长度是两个非常重要的参数。
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