环境温度对激光空泡影响的研究模拟(6)
除此之外，液体饱和蒸汽压强也受温度变化影响，根据参考文献[16]得到函数表达式：
(2.29)
其中
所以综合考虑温度对其它三个因素的影响，我们可以建立不同温度下的动力学方程：
(2.30)
3 空泡动力学的数值计算
数值模拟也叫计算机模拟。它是运用计算机，通过数值计算和图像显示的方法，来达到对问题进行研究的目的。这实际上就是用计算机来做实验，研究某个问题首先计算，然后将结果反映到显示屏上，由此观察模型的各种细节。其基本步骤主要包括：首先要建立反映问题本质的数学模型，具体说就是要建立反映问题各量之间的微分方程及相应的定解条件；然后就是要确定计算方法和坐标系；最后就是编制程序和进行计算，并且通过实验加以验证[17]。而对偏微分方程组进行处理的方法主要有有限差分法、有限体积法、有限元法、边界元法等，具体如下：
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点，把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似，把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解，然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。[18]
有限体积法就是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程，其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点：对比有限差分法仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。[19]
有限元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，被广泛地应用于求解结构场、热场、电磁场、流场中的连续性问题，同时也是焊接热效应相关问题数值模拟和分析的主要方法。其基本思想就是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。[20]
边界元法是由有限元法派生出的一种新的数值方法，它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。与基于偏微分方程的区域解法相比，边界元法由于降低了问题的文数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。[21]