1。1。2 曲面造型技术发展及应用现状

在计算机几何建模技术中最为常见的曲面表示形式有：隐式曲面、参数曲面 [3]。 参数曲线曲面来源于实际的工业生产中,主要运用于外观复杂的设计如轮船、飞机、 汽车等领域，一直以来参数曲面都作为几何模型构建的主要形式。美国波音公司在 1963 年提出运用参数矢函数的方法来表示曲线曲面 [4]。次年,美国麻省理工学院提出 用四段封闭的边界曲线来定义一张曲面[5]，但是这两种方法都没有解决形状控制与图 形连接的问题。1971年,法国雷诺汽车工程师 Bezier [6]提出了具有优良的交互性和可 控制性的新方法来构造参数化曲线的新方法。该方法可以通过调整控制多边形的顶点 便捷地修改曲线的形状,从而大大地提升了工作效率和交互特性。美国通用汽车公司 的 Gordon和Riesenfeld 在1974 年在 Bezier 曲线的基础之上定义了 B 样条曲线曲面，

获得了社会的广泛认可，将 B 样条理论运用于形状构建[7],并将它认定为 CAD / CG 中 构建形状最为基本的方法。1975 年,Versiprille 提出了有理 B 样条的方法[8],它有效解 决了二次曲面精确表示的问题。 80 年代后期 Piegl 和 Tiller 将有理 B 样条发展成为 NURBS [9]方法,NURBS 成为用数学方法表达产品工艺几何形状设计的唯一方法。 2003 年, Sederberg 等提出用 T 样条方法，解决了由于拼接参数张量积曲面而产生过多控制 点的问题。目前,参数化曲面造型技术形成了以拟合、逼近和插值等方法的几何理论 体系[3]。

随着近些年基础理论研究的进步，代数几何领域得到了快速发展,隐式曲面造型 技术也进一步得到了提升。1985-1989 年, Sederberg 先后提出了用分片代数曲面和曲 面样条来表示隐式曲面的方法，为隐式曲面的表示奠定了基础。 Bajaj 等近年解决了 用隐式代数样条对多面体光顺以及代数曲面的 Hermite插值等一系列问题[3]，为后续 的发展推进扫平了道路。

两者相较而言,隐式曲面表示与参数曲面表示相辅相成，各有优劣。隐式曲面表 示很好地弥补了参数曲面表示的缺点,如空间点相对于隐式曲面的位置更容易判断; 隐式曲面可以方便地改变隐式曲面的拓扑结构,可以得到更高的光顺度,提供更多的 形状控制方法；此外隐式曲面的表面连续性也较高。

通过以上的比较,隐式曲面相对于参数曲面具有不可比拟的优势,隐式曲面正运 用于更多更广的领域，随着研究的深入，隐式曲面将会为 CAD/CG 领域做出更大的贡 献，成为研究的热点问题。

1。2     相关技术概述

1。2。1    多约束线构建

曲线可分为规则曲线和不规则曲线两类。所谓规则曲线就是利用确定的函数来表 达的曲线，如摆线、正弦曲线、双叶线等。不规则曲线则是由离散点构造的函数来表 示，称为拟合曲线或自由曲线。由于构造函数的方法不同，出现了诸如最小二乘法拟 合曲线，三次参数样条曲线拟合曲线， Bezier 曲线、B 样条曲线等众多曲线。曲线有 参数形式表示与非参数形式表示两种，非参数表示又可以分为显示和隐式表示。对于 平面曲线，可以用非参数形式的显函数（式如 y （f  x））， 或者隐函数（式如 

（f   x,y） 0 ），也可以用参数形式(式如 x  x t , y  y t  (t 为参数))来表示。

用传统曲线来表示几何造型设计的方法已经不能满足用户不断提升的要求。 Bezier 曲线和 B 样条曲线因其以逼近为基础的特性越发受到设计师的青睐，成为 CAD与CG中主流的曲线应用。绘制 Bezier 曲线的直观交互性使得设计对象的控制达 到了直接的几何化程度，这种特性使得设计师可以得心应手地使用其进行绘图工作， 绘制效果如图 1-1 所示。