本文的其余部分组织如下。 在第2节，介绍了使用UMPCA的多通道非线性分析的分析和尺寸减小的方法。 本节还将对VPCA进行审查。 在第3节中，使用蒙特卡罗模拟，UMPCA和VPCA在建模和表征多通道剖面的变化的性能进行评估和比较。第4节致力于一个多操作锻造过程的真实案例研究。 在本节中，提出的方法被应用于多通道非线性吨位剖面用于变化表征和故障诊断的目的。 最后，本文在第5节结束。

2. 使用UMPCA和VPCA的多通道剖面的尺寸减小

在本节中，介绍了UMPCA和VPCA的实现，以降低多通道非线性特征的维数。 还讨论了UMPCA中使用的多线性代数的基本概念。 对基于多线性奇异值分解的UMPCA的数学发展背后的理论感兴趣的读者参考Lathauwer等人（2000a，2000b）和Kolda（2001）。 我们在本文中用于从张量数据中提取不相关特征的算法是基于那些文章中提出的理论。

2.1. 基本符号和定义

考虑一组p通道剖面（传感器或通道索引j = 1,2，...，p）的n个采样（采样索引k = 1,2，...，n），其中每个通道感测剖面由m个测量值（数据索引i = 1,2，...，m）组成。因此，多信道信号的第k个样本可以由矩阵V k（i，j） m×p。多线性代数，amatrix可以被认为是二阶传感器。具有d个索引和Δdr = 1 tr分量的高阶张量多维空间维向量向量，其中tr是向量在第d维中的长度。张量的每个指数对应于空间的一个维度（Lu 等人，2008）。一般来说，张量是三维或更高维空间中的矩阵的一般化。通过定义，Vk（i，j）的l模式向量被定义为通过改变（i，j）中的第l个索引而保持所有其他索引固定的向量;即每个行向量和列向量通常可以被称为V k（i，j）的l模式向量（l = 1,2）。因此，V k（i，j）维的1模式向量表示样本k的第j个通道感测信号（即，V k（i，j）的第j个列向量），并且通过改变第一索引i（i = 1，...，m）并且固定第二索引j。 V k（i，j）的2模式向量是表示样本k的V k（i，j）的第i行向量的p维向量，并且通过改变第二索引j并固定第一索引i而获得。也就是说，第k个2-模式向量的元素对应于由所有传感器在样本k的测量索引j处测量的数据。此外，张量S∈ε的l模（l = 1，...，d） I1×I2×... Id ...由（S×l U）（i1，i2，...，il-1，j1，il + 1，...，id）=ΣIiil = 1 S i1，i2，...，il，...，id）U（j1，il）。两个矩阵A，B∈的标量积I1×I2定义为ΔA，B？=Σi1≥i2A（i1，i2）B（i1，i2）。另一个有用的操作是矢量投影（TVP）。 TVP由多个基本多线性投影（EMP）组成，每个模式由单位投影向量组成（Lu et al。，2009）。 EMP将张量投影到标量。例如，令u u（1）= 1的{u（1）T，u（2）T}为矩阵V k的EMP，其中，表示欧几里德范数，上标T表示转置操作。 EMP将矩阵V k投影到由y = V k×2 l = 1 {u（1）T，u（2）T} = V k×1 u（1）T×2u（2）T = ，U'，其中U是u（1）和u（2）的外积，由U = u（1）◦u（2）表示。假设存在用于矩阵V k的R个可用EMP，其可表示为{u（1）T r，u（2）T r} R r = 1。在这种情况下，矩阵V k的TVP到矢量y可以通过y = V k×2 l = 1 {u（1）T r} R r = 1获得，其中矢量y的第r个元素是y = Vk×1 u（1）T r×2 u（2）T r。基础张量×2 l = 1 {u（l）T r} R r = 1在文献中被称为eigentensor（Lu et al。，2009）。

2.2. 不相关的MPCA

最近，越来越多的研究兴趣泛化PCA到张量对象而不改变张量的结构。 Lu等人介绍的MPCA（2008），是一个多线性降维和特征提取方法，可应用于张量。然而，从MPCA获得的投影张量是与常规PCA相反。 为了克服这个问题，Lu et al（2009）提出了UMPCA，其中TVP预测用于投影。 在本小节中我们审查Lu等人提出的UMPCA方法 （2009）。