UMPCA算法的推导遵循连续方差最大化的经典PCA推导（Jolliffe，2002）。 一个一个基本的多线性投影被一个一个地求解，以利用强制的零相关约束最大化捕获的方差。 为了制定UMPCA问题，让{yk（r）; k = 1,2，...。 。 。 ，n}表示所有信号样本的第r个主成分的集合，其中

r = 1是使用第r个EMP的第k个样本的投影。令 表示坐标矢量集合。 因此，使用第r个EMP的第k个投影采样信号等于第r个坐标矢量的第k个元素; 即，yk（r）= gr（k）。 因此，由Sr表示的变换曲线的总散射可以由下式获得

其中 是使用第r次EMP的投影轮廓的样本均值。 UMPCA寻求一套EMP，以最大化每个EMP中投影概况的差异，而获得的主要组成部分是不相关的。 UMPCA的数学公式可以写成

EMP 包含两组参数，其中每组都涉及一种模式。 为了准确地获得第r个EMP，需要同时确定ur（1）和ur（2），使得Sr的总散射矩阵最大化。 然而，在多线性代数中，对于这个问题没有封闭形式的解决方案，除了我们处理单通道简档（R = 1）的情况，其中UMPCA归结为常规PCA。 因此，使用每次考虑一个模式的近似迭代方法来确定每个EMP。 该方法将问题分解为与模式数量一样多的子问题，并且解决每个子问题以在给定另一模式中的向量集合的情况下确定ur（l）。 有关这种方法的详细信息可以在Lu等人（2008年，2009年）。

2.3. VPCA

VPCA是PCA对张量数据的推广，其将常规PCA应用于重构为向量的张量对象。 在多通道轮廓的情况下，矩阵 可以重新形成向量 。 因此，使用这种符号，所有信号样本可以以矩阵形式表示为 。 然后，将常规PCA应用于矩阵X.由于X中的信号数据居中，足以解决以下分解问题：

其中e是特征向量，τ是X的协方差矩阵的特征值。对应于w个最大特征值的特征向量由 ，以形成变换矩阵E，其中w是变换空间的期望尺寸。 因此，可以通过获得变换的信号样本

其中 是每行表示一个样本的变换概况样本的矩阵，  

3. 使用模拟的UMPCA和VPCA之间的性能比较

在本节中，使用蒙特卡罗模拟，对表征多通道轮廓变化的UMPCA和VPCA的性能进行了评估和比较。为此，我们考虑使用四个应变计对多通道锻造过程记录四通道压力信号（Lei等人，2010）。假设在这个过程中，在每个周期时间记录四通道轮廓（p = 4），每个轮廓由175（m = 175）个数据点组成。我们在本研究中为每个通道生成250（n = 250）个随机谱。为了研究UMPCA和VPCA在模拟多通道轮廓变化及其相互关系的有效性，研究了模拟两种不同变异模式的两种情景。在第一种情况中，简档信道是随机生成的，使得变化幅度在所有简档信道上是相同的。换句话说，在这种情况下，所有的配置文件通道都具有相同的重要性。然而，在第二种情况下，信道1和2的方差比其他信道的方差大5倍。也就是说，前两个渠道的差异是主导的。此外，为了在两种情况下包括轮廓的相互关系，轮廓通道1和3分别被认为与轮廓通道2和4相关。相反，轮廓通道1和2分别被认为是独立于轮廓通道3和4。

为了模拟所描述情景下的配置文件通道，使用随机效应（RE）模型。 利用具有B样条基的四个RE模型来为每个场景生成随机非线性轮廓数据。 在RE模型中，存在对应于每个模型系数的RE（Demidenko，2004）。 模拟中使用的RE模型可以表示为

其中y（k）i是通道k的轮廓数据的m×1向量，X是回归器的m×t B样条基矩阵（在我们的情况下的时间）; β（k）是简档信道k的固定效应系数的t×1向量; b（k）i〜MVN（0，D（k））是轮廓通道k的随机效应系数的t×1向量，其中D（k）是t×t对角正定矩阵; 和ε（k）i〜MVN（0，Iσ2ε（k））是轮廓通道k的随机噪声的m×1向量，其被假定为独立于b（k）i。 此外，I（k）是m×m个单位矩阵，σ2ε（k）是简档信道k的随机噪声的方差。