黄金价格与CPI指数时间序列的相关分析研究自拟合和模拟(6)
则式（１）可以改成算子形式：
（3）
式中：B为移位算子，称 为模型AR（p）的特征方程，特征方程的p个根 ，称为AR模型的特征根。如果p个特征根都在单位圆外，即
（4）
则称AR模型是稳定的，式（4）又称平稳条件。
AR(p)模型建模过程
在建模之前应先对时间序列的均值进行检验，如果样本均值的绝对值小于样本标准差2倍，则序列可看成零均值序列，否则，应对序列进行零均值化处理。然后按照如下步骤建模。
（1）模型定阶
模型定阶就是AR模型中阶数p的确定，一般来说AR模型中阶数p是未知的，若应用模型进行仿真预测，就应该首先确定p的值。其确定方法主要有AIC准则估计法和BIC准则估计法等等。
AIC准则是1971年日本学者赤池(Akaike)给出的一种适用面非常广泛的统计模型选择准则，称为最小信息准则(Akaike Information Criterion)，运用这一准则，可以在AR模型参数估计的基础上估计阶数p，其作法是首先引入以下的AIC准则函数：
（5）
其中 为p=k(1≤k≤P)时 的估计，而p=0时 ，P为p的估计上界，一般P的取值由实际情况由经验而定，取 满足：
（6）
则此 为模型阶数p的AIC准则估计[3]。
（2）参数估计
AR(p)模型的参数估计方法较多，AR模型参数估计的方法有很多，主要包括最小二乘法、解Yule-Walker方程法、极大似然估计法和Burg算法等。上述方法中，最小二乘法进行参数估计比较简单，参数估计无偏，精度高，本文选用此种方法进行估计。已知样本序列X={x1，x2，…，xn}将式(1)写成矩阵形式，有
（7）
其中 ， ，估计算法如下：
求 ，使 ，称此时的 为最小二乘估计，由最小二乘估计的运算方法可得 与 的最小二乘估计为：
（3）模型检验
由于AR(p)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表白噪声序列；如果残差不代表白噪声序列，则说明模型的识别与估计有误，需重新进行识别与估计。
（4）预测及评价
对未来的数据进行预测，计算出相对误差及平均误差率（平均误差率的大小从一定程度上反应预测的精度）：
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