称为函数 在 处的泰勒多项式，若函数 在 上存在直到 阶的导数，则有 

即 称为 在点 处的泰勒公式。 

一直以来，泰勒公式的证明与应用方面的研究对于许多热爱数学的人来说一直极具吸引力。目前，通过数学爱好者们的研究已经有了众多研究成果： 

例如：湖南科技学院数学系的唐仁献[23]在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式； 

洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、陶容、张永胜在所著的文章《泰勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题[32]。于此类似的研究成果还有湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴[31]的《定积分不等式的几种典型证法》和潍坊高等专科学校的陈晓萌所著的《泰勒公式在不等式中的应用》等等。 

T。M。Apostol（美）在《Mathematical Analysis》（Second Edition）(机械工业出版社)中就讲述了有关泰勒公式的证明以及一些应用，很好的体现了泰勒公式在数学领域的研究价值。V。A。Zurich在《Mathematical Analysis I》中更是完美的展现了泰勒公式的研究价值。 

在以上提及的这些文献中，许多作者在研究泰勒公式的应用时，都从泰勒公式的证明出发，充分利用了泰勒公式本身特有的性质。此篇文章的课题，将借鉴这种研究方法，继续专注于泰勒公式在数学解题中的应用，总结出相应题型的泰勒公式解法。 

1。2 泰勒公式的研究意义 

众所周知，泰勒公式是微积分部分的重要内容，也是学生在学习和运用高等数学内容时的重要工具，在极限计算、函数凹凸点、拐点、行列式计算等方面有着得天独厚的优势。虽然目前泰勒公式已经被应用到各个数学领域，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间。 

    在实际数学研究中，许多函数都可以运用泰勒公式来转化表示，所以在我们进行一系列函数相关问题研究时，都可以将其作为重要的工具。因此，我们需要深入掌握泰勒公式的理论研究方法，牢固地掌握其知识要点，以便更好地将其推广到更多的领域。

1。3 泰勒公式的研究目的 

本文深入分析泰勒公式的理论研究方法，并努力将其推广到数学问题解决的各方面。所以，本文将简单介绍泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，讨论带有佩亚诺亚余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式及其理论方法在解题中应用的实际方法。文献综述

1。4 泰勒公式的研究思路和方法

回顾泰勒公式的发展历史，深究其不同展开式的证明方式，结合具体数学问题，分类讨论泰勒公式在不同类型的问题中的运用。

2 泰勒公式

2。1 泰勒公式建立

由于有时候函数比较复杂，函数表达式不够简单明了，所以我们在研究函数性质或者进行函数计算的时候，常常存在很多困难。所以数学家们就提出：能否寻找一个替代者来替代原来一些比较复杂的函数进行运算？其实仔细思考就会发现，在我们研究的所有函数中，最简单的、最容易计算的就是多项式函数。因此，我们需要将多项式函数引入到函数相关问题的研究中来，但如何才能更精确地用多项式函数来逼近我们需要研究的函数呢？

其实若函数 在 处可导，则有

   即在点 附近，可以利用一次多项式 逼近函数 [1]。虽然这个方式很好，但是在很多情况下，我们仅用一次多项式来逼近我们需要研究的函数是不够的，所以我们考虑用二次或者二次以上的多项式来逼近函数并尽量减少两者之间误差，使其误差尽可能小。