摘 要：在本文中，我们首先介绍第二个意义上的“谐波凸函数”概念，并在第二个意义上建立了谐波凸函数的几个Hermite-Hadamard类型不等式。最后，给出了一些特殊平均值的应用。

毕业论文关 键 词：谐波凸函数,Hermite-hadamard不等式,凸函数92147

Abstract: in this paper,we first introduce the concept"harmonically convex functions"in the second sense and establish several Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions in the second sense。Finally,some applications to special mean are shown。

Keywords： harmonically convex functions , Hermite-hadamard’s inequality , convex functions 

目 录

1 引  言 4

2 Hermite-Hadamard不等式的一些推广 5

3 谐波凸函数 8

4 主要结果 10

5 应用 13

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

    凸函数是一个古老而又新颖的数学分支，包含了凸集、凸函数、正解、赋范空间等一系列凸性内容。最早的有关凸性的一些结果可以追溯到十八世纪中期，但是近代人们所提及到的凸分析理论则是由Minkowski等人在二十世纪初创始的，研究的主要对象是凸函数、凸泛函和凸集。最近几年，随着最优化理论、线性和非线性等学科的快速发展和需要，凸分析理论逐渐被多数专家和学者所重视，继而凸函数理论也得到了深入的发展。

    凸函数有着许多广泛的性质，其概念和方法在数学学科的各个分支中就得到了非常广泛的应用。例如在最优化理论、极值理论、凸规划理论、数学物理、数理统计等等分支中的应用。同时，它与几何理论、不动点理论、逼近理论和临界点理论也有着非常密切的联系。凸性更是证明了许多不等式的有效方法与途径。

    1905年，Jensen在文 中用第一个不等式定义了凸函数。论文网

    Jensen不等式  若对任意的 有

成立，则称函数 在区间 上是Jensen意义下的凸函数，简称为J凸函数，有时也称为中点凸函数。反之，当不等式号反向时，则称函数 为J凹函数。

    Jensen还将不等式推广到了n维的情况，即对任意的 为正有理数且满足 则有

后来，人们又将此不等式推广，进而得到了凸函数的概念。

   函数 

成立；如果上式不等式是反向的，则称 在区间 上是凹的。

   1893年，Hadamard对J不等式进行均值插值得到：如果函数 上是连续凸的则有

如果函数 在区间 上是连续凹的，则将双边不等式反向即可。后经查证知，上诉不等式在此之前已有Hermite提出故上诉不等式通常被称为Hermite-Hadamard型不等式。

   随着凸分析理论不等式理论的迅速发展和广泛应用，这一数学分支也越来越受到国内外众多学者与专家的关注。

2 Hermite-Hadamard不等式的一些推广

   设 是凸函数，则

                                       （2。1）

在历史文献中称为Hadamard不等式。注意到不等式(2。1)并不是由J。Hadamard最初发现的。正如Mitrinovic和Lackovic在文献【1】中指出的，不等式（1。1）实在1883年由C。Hermite得到的，比J。Hadamard的结果早十年。