摘 要：本文研究了Sylvester结式及其应用。 研究发现Sylvester结式在判断公共复根，零点的判定，非线性方程组求解中起着重要作用。 利用矩阵与其辗转相除所得的余式序列中相邻两项组成的结式的关系，然后根据这个关系得出计算公式，有效地解决了高阶行列式计算。在比较结式与判别式的关系时，运用结式，求出了多项式的判别式。 93388

毕业论文关键词：Sylvester结式，辗转相除，高阶行列式，判别式, 多项式

Abstract：In this article, we investigate the Sylvester resultant and its application。 We find that the Sylvester resultant plays an important role in the judgment of the public complex roots, zero points and solving nonlinear equations。 Using the relationship between adjacent residue sequence matrix and its pision in the two composition of the resultant, we effectively solve the calculation high order determinant according to the relationship between the calculation formula。 When comparing the relations between resultant and discriminant, we calculate the discriminant of  polynomial via the resultant。

Keywords：Sylvester resultant, pision, high order determinant, discriminant, polynomial 

目   录

1  引言4

1。1  Sylvester的定义··· 4

1。2  Sylvester的基本性质· 4

2  Maple中的sylvester结式 6

2。1  构建两个多项式的sylvester矩阵· 6

2。2  计算两个多项式的结式· 6

3  结式与判别式的关系··· 7

3。1  公共根与公因式（复数域上）··· 7

3。2  f(x)与g(x)的结式··· 9

3。3  多项式的判别式···· 10

结论··11

参考文献12

1  引言

结式是多项式理论中的一个重要概念，它在多项式零点的判定、非线性方程组求解和不等式证明中都起着不小的作用。我们常常会遇到一些m+n阶行列式：

一般来说，计算高阶行列式是一个很困难的问题，有些学者会利用降接的方法来降低复杂度，然而本文另辟蹊径，用矩阵与它们由辗转相除得到的余式序列中相邻两项组成的结式之间的关系，由此得出计算公式，更有效的计算高阶行列式。

1。1。 Sylvester结式的定义论文网

经典的Sylvester结式是对单变元的两个多项式的系统进行消元,它的构造如下：

假设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an, g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm是数域K上两个多项式，

其中n＞0，m＞0,则｛f,g｝关于｛x｝的Sylvester矩阵为

 Syl(f,g,x)= 

这样的行列式称为Sylvester结式[1，2]。

定义1[2]。矩阵Syl(f1,…,fn+1)称为｛f1,…,fn+1｝关于｛x1,…,xn｝的Sylvester矩阵。

定义2[2]。 Syl(f1,…,fn+1)的行列式称为｛f1,…,fn+1｝关于｛x1,…,xn｝的Sylvester结式。

1。2  Sylvester结式的的基本性质

定理1[1，2]。 u(x),v(x)∈K[x,A]，其中deg(u(x),x)＜m，deg(v(x),x)＜n,使得

f(x)u(x)+g(x)v(x)=︱Syl(f,g,x)︱。

定理2[2]。设｛ ,…, ｝与｛fj1,…,fjn+1｝分别是｛x1,…,xn｝与｛f1,…,fn+1｝的任意排列，则｛fj1,…,fjn+1｝关于｛ ,…, ｝的Sylvester结式与｛f1,…,fn+1｝关于｛x1,…,xn｝的Sylvester结式至多相差一个负号。即：

Res =  Res 

例1：  f1(x,y)=a0+a1y+a2y²+(a3+a4y+a5y²)x

       f2(x,y)=b0+b1y+b2y²+(b3+b4y+b5y²)x   ，

求Sylvester结式。