摘要：本论文对正项级数收敛性判别的一系列办法进行了归纳提炼, 针对每种方法给出了相应的证明。 其中还根据级数通项的特点, 提出了优先选择何种判别法的建议, 以提高解题效率。

毕业论文关键词：正项级数, 收敛性, 有界, 比较93621

Abstract：Some typical methods to determine the Convergence of Positive Series were discussed in this paper。 Then I gave the proof of these main methods and I selected the appropriate discriminant method to improve the efficiency of solving problems。源C于H优J尔W论R文M网WwW.youeRw.com 原文+QQ752-018766

Key words：positive series, convergence, boundedness, comparison

目  录

1  引言 4

2  基本概念及定理 4

3  正项级数收敛性的基本判别法 5

3。1  比较判别法 5

3。2  比式判别法 6

3。3  根式判别法 7

3。4  积分判别法 8

3。5  拉贝判别法 9

3。6  高斯判别法 11

4  判别法选取技巧 13

结论 20

参考文献 21

致谢 22

1 引言来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

级数是数学分析中的重要组成部分, 而正项级数是级数中最基本的级数类型。 因此,判别正项级数的收敛性是级数研究中一项不可或缺的内容。 但由于方法较多, 而且其中一些方法较难, 因此同学们常常感到正项级数的收敛性判别难以掌握。 本文对正项级数收敛性判别的一系列办法进行了归纳提炼。 通过比较, 本文还提出了优先选择何种判别法的建议。 希望同学们能够剖析题目的特点, 选取妥当的方法进行判别钻研。

2 基本定义及定理

定义1  设 则称级数 为正项级数。 

注  正项级数 的部分和数列 是单调递增的。

定义2  设级数 为正项级数, 且 。 如果 存在, 则称级数 收敛, 否则称级数 是发散的。

定理1（级数收敛的柯西准则）级数 收敛的充要条件是：任给正数 , 总存在正

整数 , 使得当 以及对任意的正整数 , 都有论文网

推论（级数收敛的必要条件）若级数 收敛, 则 

定理2  正项级数 收敛的充要条件是：部分和数列 有界, 即存在某正数 ,

对一切正整数 , 有 

3 正项级数收敛性的基本判别法

3。1 比较判别法

定理3。1。1[1]（比较原则） 设 和 均为正项级数, 若存在某正数 , 对一切 都有

则

（i）若级数 收敛, 则级数 也收敛;

（ii）若级数 发散, 则级数 也发散。

证明  从N+1项开始, 有  并设 

（i）由 收敛推得 有界, 则当 时, 有

故 也有界。 根据定理2, 级数 收敛。

（ii）(反证) 假设 收敛, 由（i）知,  收敛, 这与已知条件 发散相矛盾,故 发散。

推论3。1。1  设 和 均为正项级数, 若

则

（i）当 时, 级数 和 同敛散。

（ii）当 时,  收敛时, 级数 也收敛。

（iii）当 时,  发散时, 级数 也发散。