Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(3)
1. 3 期权定价理论的近期发展
Black-Scholes布莱克—斯科尔斯原始模型是为欧式期权定价的, 即必须到到期日才能执行的期权. 这一模型的产生有一系列假设条件, 主要有 4 个方面
(1)市场的无摩擦性. 即无税, 无交易成本；所有的资产可以无限细分；无卖空限制.
(2)从时刻 t = 0到t = T, 都可以以一相同的不变的利率借贷, 利率按连续复利r 计算.
(3)从时刻 t = 0到t = T股票不分红.
(4)标的股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程,
同样, 根据边界条件的不同, 有彩虹期权、一篮子期权、双币种期权等.
当然, 除了上述模型之外, 还有跳-扩散模型、关卡期权、重置期权、回望期权等等一些非常重要的期权定价模型.
不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场, 但这时的期权定价问题就复杂多了. 在不完善市场情况下, 通常难以得到布莱克—斯科尔斯模型那种期权的公平价格, 已有的定价方法也将失去其作用. 关于不完善市场的期权定价问题, 目前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值(variance-optimal hedging), 均值方差套期保值(mean-variance hedging), 超套期保值(super-hedging)和有限风险套期保值(limited-risk hedging)等方法, 在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有Barron & Jensen(1990), Follmer&Schweizer(1989, 1991, 1993), Schweizer(1990, 1991, 1992), Hofmann 等(1992), Davis(1993), Karatzas&Kou(1998), Karatzas对基础资产收益率的方差不是常数情况的期权定价问题进行研究的主要学者有：Hull&Whit(1987), Melino &
Turnbull(1990), Am in&Ng(1993), Hoston(1993), Nandi(1998), Kallianpur&Xiong(1999).
B-S模型诞生后, 许多学者由此得到启发, 相继推出了许多期权定价模型并发展了
许多期权定价的方法：根据边界条件的不同, 可以分为两值期权、复合期权、选择期权、永久美式期权、移动布莱克—斯科尔斯原始模型是为欧式期权定价的, 即必须到到期日才能执行的期权. 这一模型的产生有一系列假设条件,
近20多年来, 经济学家们试图在“放松”假设条件的情况下, 寻求更贴切实际市场的期权定价模型, 取得了许多优秀成果, 极大地丰富和发展了期权定价理论. 90年代以来特别是近几年, 很多经济学家对不完善市场、标的资产的价格存在异常变动跳跃或者标的资产收益率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研究, 取得了许多重要研究成果. 其中最值得一提的就是极大地丰富了期权定价模型方面的相关理论, 在经典的 Black-Scholes 模型的基础上, 提出了许多新的模型.
1、股票价格连续变化；解方程导出其解析定价公式. 但是有些期权定价模型不一定存在显式解析定价公式.
2、解析近似方法：对一些不存在显式解析定价公式的期权如美式标准期权, 算术
平均期权等, 采用偏微分方程技术或概率方法以及阶矩等方法求得其近似解析定价公
式. 当然, 其所能求解的只是极其有限的一部分定价模型.
3、二叉树方法：这是 B-S 模型的一个离散版本. 不过, 这只是一种离散情形, 对
于某些连续情形(如连续支付红利), 只能看作是它的一个近似. 其次, 二叉树方法的
精度也不高.
4、有限差分方法：这是偏微分方程数值解的一种常用技术, 它利用差分逼近将 B-S
模型转化为一组差分方程来求解. 在当今计算机相当普及的情形下, 人们还是乐于使用
数值方法, 特别对于一些复杂的期权定价问题, 其显示出很多优越性. 但是, 其一, 差分方程的解是否收敛到偏微分方程定解问题的解？即收敛性问题. 其二, 应用计算机进行差分方程的求解时, 难免在每次运行中引入舍入误差, 这些舍入误差能否得到控制, 有没有可能由于微小的舍入误差而引起解的完全失真？即所谓的稳定性问题.