Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(6)
(3)利率. 利率, 尤其是短期利率的变动会影响期权的价格. 利率变动对期权价格的影响是复杂的: 一方面, 利率变化会引起期权标的资产价格变化, 从而引起期权内在价值的变化; 另一方面, 利率变化会使期权价格的机会成本变化; 同时, 利率变化还会引起对期权交易的供求关系变化, 因而从不同角度对期权价格产生影响. 例如, 利率提高, 期权标的资产如股票、债券的市场价格将下降, 从而使看涨期权的内在价值下降, 看跌期权的内在价值提高; 利率提高, 又会使期权价格的机会成本提高, 有可能使资金从期权市场流向价格已下降的股票、债券等现货市场, 减少对期权交易的要求, 进而又会使期权价格下降. 总之, 利率对期权价格的影响是复杂的, 应根据具体情况作具体分析.
(4)标的资产价格的波动性. 标的资产价格的波动性越大, 期权价格越高; 波动性越小, 期权价格越低. 这是因为, 标的资产价格波动性越大, 在期权到期时, 标的资产市场价格涨至行权价格之上或跌至行权价格之下的可能性越大. 因此, 期权的时间价值, 乃至期权价格, 都将随标的资产价格波动的增大而提高, 随标的资产价格波动的缩小而降低.
(5)标的资产的收益. 标的资产的收益将影响标的资产的价格. 在行权价格一定时, 标的资产价格又必然影响期权的内在价值, 从而影响期权的价格. 由于标的资产分红派息等将时标的资产价格下降, 而使行权价格并不进行相应调整, 因此, 在期权有效期内, 标的资产产生收益将使看涨期权价格下降, 从而使看跌期权价格上升.
假如在一个市场中, 人们可以身无分文上市通过资产的买卖（允许卖空和借贷）, 使得能够最终保证不欠债, 而且有正概率的机会获得赢利, 此时称为市场存在套利机会, 假如市场中不存在套利机会, 则称市场无套利.
1. 欧式期权价格上涨的上限
欧式看涨期权持有者有权按照某一确定的价格购买一股股票. 在任何情况下, 期权的价值都不会超过股票的价格.所以, 股票的价格应该是期权价格的上限:
如果这一关系不成立, 将存在着套利机会, 套利者将通过购买股票并卖出看涨期权获得无风险收益.
欧式看跌期权的持有者有权以行权价格X出一股股票, 无论股票价格多低, 期权的价格都不会超过X, 所以有
由于欧式看跌期权在T时刻期权的价值不会超过X, 所以现在期权的价格不会超过X的现值
如果上式不成立, 将出现套利机会, 套利者可出售期权并将收入所得以无风险利率再投资, 获得无风险收益.
2. 不支付红利股票的欧式看涨期权下限
不支付红利股票的欧式看涨期权的下限为
为了讨论这个问题, 我们考虑以下两个组合：
组合A:一个价格为c的欧式看涨期权加上金额为 的现金：
组合B:一股标的价格为S的股票.
如果将组合A中的现金按照无风险利率投资, 在T时刻将变为X. 在T时刻, 如果 投资者就会行使期权, 组合A的价值为 ; 如果 , 期权到期值为0, 组合A的价值是X.所以, 在T时刻组合A的价值为
在T时刻组合B的价值是 ,所以在T时刻组合A的价值通常不会低于组合B的价值. 因此, 在无套利条件下,我们有 或
对于一个看涨期权来说, 最坏的情况是在期权到期时价值为0, 所以期权价值不能为负,即 , 从而有
2. 2 股票价格的行为模拟
2. 2. 1 文纳过程
设 是任意一个随机变量, 为时间，如果 服从文纳过程，则在小的时间间隔 内 的变化 满足方程 其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值. 由此我们得出 服从期望值为0,方差为 ,标准差为 的正态分布. 当 时, 的微分形式为