Black-Scholes方程的求解方法分析及应用(8)
假设衍生证券价格 依赖于标的资产价格 ,则 一定是 和时间 的某一函数. 由伊藤引理得 (2.3.2)
式(2.3.1)和(2.3.2)的离散形式分别为
(2.3.3)
(2.3.4)
式中 和 分别是 和 在短时间间隔 后的变化量. 由于 和 遵循相同的文纳过程,所以两式中 应该相同. 这样适当地选择股票和衍生证券组合就可以消除不确定项 .
为了消除 ,我们构建了一个包括1单位衍生证券空头和 单位标的资产证券多头的组合. 令 代表该资产组合的价值,则有结果:
在 时间后,该资产组合的价值变化为 (2.3.5)
将 和 代入式(2.3.5),得 (2.3.6)
由于式(2.3.6)中不包含 ,所以在时间间隔 后该组合的价值必定无风险,其在 后的顺势收益率一定等于无风险利率. 否则,套利者就可以通过套利获得无风险收益率,所以结果应该是:(2.3.7)
将式(2.3.7)代入式(2.3.6)得
整理后得 (2.3.8)
式(2.3.8)就是著名的Black-Scholes偏微分方程. 这个方程适用于价格取决于标的资产价格 的所有衍生证券定价.
2.3.2 边界条件
方程(2.3.8)对应于所有标的变量为 的衍生证券,该方程有很多解. 为了保证它有唯一的解,我们需要给出衍生证券所满足的边界条件.
对于欧式看涨期权来说,关键的边界条件为
当 时. (2.3.9)
当 时,期权没有价值,所以边界条件为 (2.3.10)
当 时, 期权的价值变成股票的价值,即 (2.3.11)
根据边界条件式(2.3.9),式(2.3.10)和式(2.3.11),可以求解方程(2.3.8).
2.3.3 Black-Scholes期权定价公式
欧式看涨期权价格满足偏微分方程(2.3.8),于是有
(2.3.12)
方程(2.3.12)类似扩散方程,但它有更多的项.
为了便于求解,令
则 ,
故有
方程(2.3.12)变为
即(2.3.13)
其中 此时,终止条件转化为初始条件
注意到方程(2.3.13)中仅包含一个参数 令 其中 和 是待定的常数. 代入式(2.3.13)有结果
(2.3.14)
选择 和 ,使其满足
求解两式,得
这样,我们有
式中 满足
由偏微分方程知识有
作变换 所以
其中
是正态分布的累积分布函数;将 代换为 得到
将 和 代入式(2.3.15),再利用
整理后得
其中
总结上述结论,我们有如下定理:
定理2.3.1(Black-Scholes欧式期权定价公式) 到期时刻为 ,行权价格为 ,标的资产价格 服从几何布朗运动的股票欧式看涨期权的价格为
(2.3.16)
根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系,容易得出不支付红利股票的欧式看跌期权的定价公式:
(2.3.17)
2. 4 期权定价的应用
例：附表是浦发银行在2013年1月到4月的股票走势. 以收盘价为准,计算价格.
（1）计算各个参数：
利用收盘价的数据求得均值为10. 525 方差为0.353 时间差为73天 一年期固定存款利率为3% 即 , , ,
,
.
（2）计算期权的价格. 将上述计算结果代入式(2. 3. 16)和式(2. 3. 17),有
matlab程序：
S=10. 525;
X=10. 525;
r=0. 03;
sigma=0. 353;
time=0. 203;
time_sqrt=sqrt(time);
d1=r*time_sqrt/sigma+0. 5*sigma*time_sqrt;
d2=d1-(sigma*time_sqrt);