摘  要：本文介绍了多项式最大公因式的定义及性质，讨论了多项式最大公因式的若干解法，并对每种解法通过实例加以说明，通过说明总结了每种方法的适用性和局限性.

毕业论文关 键 词：互素，最大公因式，初等变换，数值矩阵法55675

Abstract:The definition, character the greatest common pisor of polynomial and the solutions of it are discussed in this paper. Every solution has one example which illustrates it. At last,the

 applicability and limitations of each solution are concluded through the illustration. 

Keyword：mutual number, the greatest common factor, elementary transformation, numerical matrix method

目  录

1  引言4

2  一元多项式最大公因式4

3  多项式的互素4

3.1  多项式互素的定义与判断4

3.2  多项式互素的性质4

3.3  互素概念的推广5

3.3.1  二元多项式的互素5

4  一元多项式最大公因式的求法6

4.1  因式分解法6

4.2  辗转相除法7

4.3  方程组法求解多项式的最大公因式9

4.4  矩阵的初等变换法10

4.5  数值矩阵法11

4.6  矩阵的斜消变换法12

5  结论15

6  参考文献16

7  致谢17

1 引言

多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到.最大公因式理论是多项式理论中一个重要的组成部分，也是多项式理论的基础。而求解一元多项式的最大公因式是研究一元多项式理论的基础.许多实际问题都可归结于多项式最大公因式的求解.一元多项式最大公因式的解法，在高代教材中已经做了许多介绍.如因式分解法，辗转相除法，矩阵的初等变换法，矩阵的斜消变换法，数值矩阵法等.每种方法的适用题型以及和特点不一.本文通过查阅和参考相关的资料，在本文中根据各种方法的特点以及适用的题型进行详细的分析，并作归纳小结.从而为求最大公因式的这类题目提供一定的帮助.

2 一元多项式最大公因式

在高等代数教材 中，有以下定义和定理.

定义1  如果多项式 既是 的因式，又是 的因式，那么 就称为 与 的一个公因式.

定义2  设 ， 是 中两个多项式. 中多项式 称为 ， 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：

（1） 是 的公因式；

（2） 的公因式全是 的因式.

引理1  对于 中任意两个多项式 ,在 中存在一个最大公因式 ，且 可以表成 ， 的一个组合，即有 中多项式 , 使

 .3 多项式的互素源.自|优尔,-论`文'网www.youerw.com

3.1 多项式互素的定义与判断

定义3   如果 ，且 那么就说 ，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素.

引理2    中的多项式 互素当且仅当存在两个多项式 和 ，使得

 . 3.2 多项式互素的性质

互素是多项式讨论中的一个重要概念,下面在所给互素的基本性质基础上,进一步讨论多项式互素的性质.

（1）若 都与 互素，那么 也与 互素;

（2）若 且 与 互素，那么 ;

（3）若 且 与 互素,那么 .

例1 证明 如果 ， ，那么 ．

证明 假设 ，则一定存在不可约多项式  使得

 | 和 | ，

又因为 不可约，则有

 | 或 | ，

这样 或 ，与条件矛盾．所以 ．

3.3 互素概念的推广

两个多项式的互素，可以推广到多个多项式的情形.