摘  要：本文首先对一些可化为线性常微分方程的非线性常微分方程进行研究，例如伯努利方程，黎卡提方程等，其次给出一些可求出的特殊的非线性常微分方程，最后给出一些求解非线性常微分方程的常用方法，例如变换变量、变量替换及分部积分法，并列举了实例．59011

毕业论文关键词：非线性常微分方程，常数变易法，变换变量，变量替换，分部积分

Abstract: Firstly, in this paper, the nonlinear ordinary differential equations which can be converted into linear ordinary differential equations are discussed such as the Bernoulli’s equations and Riccati’s equations etc. Secondly, some special nonlinear ordinary differential equations can be solved are listed. Finally, the paper gives out some solutions used commonly, such as method of variation position transformations, variable substitution and partial integration. What’s more, we give some examples to explain these methods.

Keywords: Nonlinear ordinary differential equation, the variation of constant method, the method of variation position transformation, variable substitution, partial integration

1  引言 4

2  基本概念 4

2.1  微分方程及其种类 4

2.2  一阶线性微分方程及其解法 5

3  几类常见非线性微分方程及其解法 6

3.1  伯努利（Bernoulli）方程 6

3.2  明金—达布方程 7

3.3  黎卡提（Riccati）方程 8

3.4  其他的一些方程 9

3.4.1  形如 的方程 9

3.4.2  形如 的方程 10

3.5  一阶隐式微分方程 11

3.6  几种可降阶的高阶非线性微分方程 15

3.7  一阶 次非线性常微分方程 17

3.7.1  一类一阶非线性常微分方程 17

3.7.2  一阶 次常系数非线性常微分方程与特征方程法 17

3.7.3  一阶 次变系数非线性常微分方程与变量代换法 18

4  几种解决非线性非线性常微分方程的常用的解法 20

4.1  变换变量位置法 20

4.2  变量替换及分部积分法 25

结论 27

参考文献 28

致谢 29

1  引言

   微分方程包括常微分方程以及偏微分方程，而常微分方程又包括线性微分方程和非线性微分方程，而非线性常微分方程在实际生活中有着非常广泛的应用，线性微分方程已经满足不了实际问题的解决，问题往往可以归结为非线性常微分方程，我们首先要会解非线性常微分方程，因此，我们研究非线性常微分方程求解问题是有意义的．

   本文首先给出一些基本概念，总结了一些常用的非线性常微分方程及其解法，例如一些可化为线性常微分方程的非线性常微分方程，包括伯努利（Bernoulli）方程、明金—达布方程、黎卡提（Riccati）方程等．此外还介绍了一些求解非线性常微分方程的常用方法，例如变换变量位置法、变量替换及分部积分法．