3.1  利用泊松公式证明 14

3.2  利用傅立叶变换证明 15

4  反射扩展 16

5  Harnack估计和边界Harnack估计 19

6  单调公式 22

结  论 25

致  谢 27

参考文献 28

1  绪论

1.1 偏微分方程的产生背景以及发展

    带有整数阶Laplace算子的方程就是我们熟知的位势方程，是偏微分方程中很重要的一类方程，在物理学中具有广泛的背景，例如震动趋于稳定，热传导趋于稳定，以及保守场等都可以最终归结为位势方程。位势方程最初是Newton，Maclaurin，D.Bernourlli以及Euler等人在研究万有引力问题时发现的。在此之后，多位数学家对位势方程做了深入的研究，数学家Laplace于18世纪80-90年代发表了《球状体和行星状物体的引力理论》（1782）一文，文中给出了用球坐标表示的位势方程，为解位势方程做出了突出的贡献，将位势方程扩展到了一般情形，- u=f为位势方程。其中 为Laplace算子。当f=0时，上述方程称为Laplace方程或位势方程；f为给定的函数时，上述方程称为Poisson方程。Laplace方程和Poisson方程都是简单的椭圆型偏微分方程。

    在研究整数阶微积分的同时，人们就开始了对于分数阶微积分的研究。1695年，Leibnitz给L’Hospital通信，信中第一次涉及到了关于方程的分数阶的问题，此后很多数学家都对这一问题很感兴趣并做出研究，对分数阶的研究可分为三个阶段：论文网

    (1)  1695-1812年，分数微积分还只是纯数学的议论和猜想。

    (2)  1812-1974年，逐渐出现有关分数微积分的名词、概念，并给出了明确的定义和性质，而且结合实际应用导出很多有用的结论。第一次分数微积分国际会议在美国New Haven大学召开，会后出版了会议论文集。Laplace于1812年用积分定义了一个分数导数，第一次提出“任意阶导数”这一说法第一次被提出，之后Fourier又丰富了这一说法。1832年，Liouvill给出了用Gamma函数定义的公式，定义了v阶导数；1892年，Riemann发表了他在学生时代研究的分数积分理论，他在遗著中给出了与现在的Riemann-Liouvill定义只差补充函数的公式；在1868年-1872年，数学家Letnikov利用很好的分析与代数技巧发表了四篇分数微积分的论文。Sonin在莫斯科通报中提出了“任意指标微分”这一概念，这些都为今天被我们熟知的R-L分数微积分奠定了坚实的基础。1892年，Heaviside运用线性微分方程的算子解法于微分方程中，并将其应用在电路理论当中。1967-1969年间，Caputo提出最终的R-L定义，分数微分方程与分数微积分初步形成。

    (3)  1974年至今。1974年以后，分数阶微积分在理论和应用上都有了较快的发展，出现了许多相关的专著和论文集，并逐渐出现全面推广常微分方程以至泛函微分方程的分数阶理论。本文的内容主要集中在这里，即Caffarelli和Silvestre两位数学家对分数阶Laplace算子的后续研究，本文参照的是他们2007年发表的一篇论文《An Extension  Problem Raleted to the Fractional Laplacian》，文中阐述了他们对于分数阶Laplace的另一种解释。本文将简单介绍一下他们这篇论文中的主要思想，然后得出一些一般的结论。

    目前，分数阶微积分广泛应用与许多领域，包括随机扩散理论和波的传播、震荡、松弛、生物材料、混沌和湍流、高分子链的形变、随机游走、分子谱，粘弹性力学、控制和机器人、量子力学等等。同时，应用的广泛性又促使了分数阶微积分理论的快速发展。