摘  要：分数阶微积分是任意(非整数)阶微分和积分的统称. 在本文中，我们首先建立 分数不等式，并引出 分数不等式. 然后给出一些 分数不等式，并在此基础上对不等式进行推广.66006

毕业论文关键词：分数阶，积分不等式，凸函数

Abstract：Fractional calculus is an arbitrary (non-integer) order differential and integral collectively. In this paper, we first establish inequalities and some   type inequalities leads to  and then give some fraction inequalities, and on this basis to promote inequalities.

Keywords：fractional order, integral inequality, convex function

目  录

第一章  引言4

第二章  预备知识5

第三章  几类分数阶积分不等式6

结论18

参考文献19

致谢20

第一章  引言

二十世纪初数学家Jensen首次得出凸函数的定义,也是人们第一次着手研究凸函数；凸函数有着其重要性,利用凸函数的部分性质,既能够精确地描绘出函数的图像,又能够证明不等式；而且,研究优化问题也就是研究凸函数,可以研究的内容很丰富,研究成果也广泛的应用在诸多领域,因此，研究函数的凸性尤为重要 .与凸函数相联系的不等式在基础理论和应用研究中有尤为重要的作用.最早追溯到19世纪末，人们就对不等式中凸函数的进行了研究.1905年, 首次定义了凸函数,其方法就是用不等式作依托。到二十世纪初,王良成等人更深入地探讨了凸函数的幂平均不等式；在上百年中,人们不断地尝试研究凸函数不等式的的性质,并且研究的内容也尤其的丰富 .十九世纪末 对 式做了平均值的插值；如果  是 上的凸函数，且连续,则有 不等式: ,因此可以得出,  不等式与  不等式联系非常紧密；数学家们不断地探索凸函数的性质,通过削弱或者加强了凸函数的条件的方法,得到了不同的凸函数概念；此外，数学研究者们还总结了凸函数的性质和应用；几乎每一种凸函数概念都有与之相应的 型不等式 .

所谓的分数阶微分或者积分,它不是指一个分数或者一个分式函数的微分或者积分,而是指其微分的阶数及积分的次数不是整数,它可以是实数，也可以是复数；分数阶微分和积分和整数阶微分和积分的研究历史一样；十七世纪末, 和 曾用写信的方法研讨过把整数阶导数 拓展到不是整数的情况；因为分数阶微分和积分理论与一般的整数阶微分和积分理论不同,且没有实际的应用背景,在之后的上百年里发展速度缓慢；一直到二十世纪末 第一次指出在自然界和诸多科学领域中存在着大量的分数维情况,而且在整体与局部之间存在相似现象后,分数阶微积分作为分形几何和分数维的动力学基础,获得了新的发展并且成为了世界上的一个重点研讨课题,且在诸多领域里得到广泛的应用 .文献综述

本篇论文重点研究 凸函数与含有分数积分的 型的不等式.1881年， 首次提出凸函数的积分不等式定义 ：设函数 是定义在区间 上的凸函数，则 .1893年， 证明了不等式 . 不等式成立之后，国际上诸多数学家对其进行了研究，得到许多的推广不等式.

第二章  预备知识

    2.1 凸函数与（s, m）凸函数定义

    定义2.1.1 （凸函数定义）

    函数 如果满足不等式 ， .则我们称 为凸函数.

    定义2.1.2  （m凸函数定义）

函数 ，对 和 ，若 满足不等式

 ，称函数 为 凸函数.