这些性质我们都可以根据定义直接推导而来。 差分的物理和几何意义:

在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速度, 二阶差分表示平均加速度。 在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率。

2。2   高阶等差数列的定义文献综述

因为前面我们已经介绍了差分的概念，因而我们可以直接引出高阶等差数列 的定义。

定义 2 对于一个给定的数列 an ，把它的连续两项 an1 与 an 的差 an1   an

记为 bn ，得到一个新数列bn ，把数列 bn 称为原数列 an 的一阶差数列，如果 cn bn1 bn ，则数列 cn 是 an 的二阶差数列，依此类推，可得出数列的 p 阶 差数列，其中 p N 。如果一个数列的 p 阶差分数列是一个非零常数列，则称这 样的数列叫 p 阶等差数列。

定义 2 表明，当且仅当 an 是 k 阶等差数列，数列 an 是 k  1阶等差数列。

例如：数  列    1 ，16 ， 81 ， 256 ， 625 ，1296

一阶差 15 ， 65 ，175 ， 369 ， 671 二阶差 50 ，110 ，194 ， 302 三阶差 60 ， 84 ，108

四阶差 24 ， 24

所以说数列1 ，16 ， 81 ， 256 ， 625 ，1296 ， 是四阶等差数列。 注明:零阶等差数列其实就是常数列；中学所学的等差数列就是一阶等差数

列；二阶及以上的等差数列就是高阶等差数列，高阶等差数列是中学所学习的等 差数列的拓展与延伸，研究高阶等差数列的通项、前 n 项和以及它的应用对中学 等差数列的学习有着举足轻重的作用。

3。    高阶等差数列的求和公式

大家知道，如果数列 a1 , a2 ,an ,是一个 r 阶等差数列，那么，它的通项 ar 是 n 的 r 次函数，而他的前 n 项的和则是 r 1 次函数，目前一些书刊根据这种理 论来讨论这个数列的通项和前 n 项的和时，大都是采用待定系数法，通过解线性

方程组来决定其系数，最后求得这个数列的通项公式和前 n 项和的公式。本文准备 先采取另外一种方法，即从最简单的等差数列(即一阶等差数列)来讨论，逐步推 导出二阶等差数列，三阶等差数列，直至 r 阶等差数列的通项公式和前 n 项和的 公式。

我们首先将等差数列 a1 , a2 ,an ,的通项公式 an  a1  n 1d 和前 n 项和

的公式 Sn

nn 1d =分别作如下变形 :

从公式 1和 2可看出，要求一阶等差数列的通项公式和前 n 项和的公式， 至少要知道这个数列的前两项 a1 和 a2 。

3。1 高阶等差数列的通项来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

求高阶等差数列的通项及前和的时候，通常采用逐差法或者待定系数法。下 面先介绍逐差法求通项。

方法一逐差法。

例 1 求数列1 ， 7 ， 25 ， 61 ，121 ， 211 的通项公式。 解 先作出阶差表

数      列 an  一阶差数列 bn  二阶差数列 cn 

: 1 ， 7 ， 25 ， 61 ，121 ， 211

: 6 ，18 ， 36 ， 60 ， 90

: 12 ，18 ， 24 ， 30

三阶差数列 dn :