考虑到环境中的随机干扰，假设环境中的干扰将会影响到食饵和捕食者的增长率：

 ，          ，

其中 是相互独立的布朗运动，  和 代表若干白噪声的强度。 另外，假设 , 则我们得到如下随机模型：

在确定性种群模型的研究中，模型的正平衡点及其稳定系是最优意思的问题之一。 系统（1。2）有三个平凡的平衡点

如果满足以下条件，则有一个内部平衡点，   （1。4）

特别地，若 , 则 ， 。 此时条件（1。4）简化为  （1。5）                                                             

然而对于随机系统（1。3），其没有正平衡点。 在本文中我们将探索在时间平均意义下系统的稳定性。我们将会证明，若 ， 且 ，则系统依时间平均稳定，且食饵种群、Leslie-Gower项在时间平均意义下是全局稳定的，即

 ， 。 

另一方面，若 或者 ，我们将会证明系统不持久。 

在本文中（除非另有说明），我们令（Ω，F， ,P）是一个完整的概率空间且 满足一般条件，令 是定义在该概率空间上相互独立的标准布朗运动。

2。 正解的存在性与唯一性

在模型（1。3）中， ， 分别代表 时刻食饵和捕食者的种群密度，因此我们只对它的正解感兴趣。 对于任意给定的初始值，为使一个随机微分方程有一个唯一的全局解，方程的系数一般都需要满足线性增长条件和局部Lipschitz条件(参见Arnold [24], Friedman [25], Mao[26])。 不过方程（1。3）的系数并不满足线性增长条件和局部Lipschitz条件。 在这一节中，通过改变方程中的变量和利用随机微分方程的比较定理[27]，我们将会证明模型（1。3）正解的存在唯一性。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

引理2。1：对于任意初始值 ，模型（1。3）有一个唯一局部正解 ， ，t∈[0， ）。

证明：首先考虑方程组

 ， ，t≥0。 显然方程（2。1）的系数满足局部Lipschitz条件。故其有唯一的局部解 , ，t∈[0， )，这里的 表示爆炸时间（参见Arnold [24], Friedman [25]）。因此由Ito's公式易见  ,  是（1。3）是唯一局部正解。 证毕。 

引理2。1说明方程（1。3）有唯一局部正解，接下来我们证明该解也是全局正解。

因为解是正的，我们有：2。2）

则 是如下方程的唯一解 （2。3）

利用随机微分方程的比较定理可得  ，t∈[0， )。