2。3函数的思想

函数思想，简单来说，就是解答数学问题的方法中的一种。

详细的说，函数表达了数与数之间所存在的关系，函数的思想是根据所涉及问题的某些数学特性，进而通过数和数的关系构建数学模型，最终开始函数探讨。

其实函数，在初中数学中已经接触到了很多了，中学教材的大部分篇幅都在讲述函数的方法，比较熟悉的有：二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等，在微积分中，也有类似于拉格朗日中值定理的证明等需要函数的方法来证明，所以说，函数思想，是数学中运用最广泛的思想。

当然，在中学数学中，由于还没有接触过微积分，无法使用微积分的方法来解决函数中的问题，比如：解多元函数；讨论函数的单调性；计算函数的极值与最值；判断函数是否连续等问题，所以这些问题我们只能靠画图的方式来完成，所以让许多不擅长数形结合的中学生觉得函数的思想十分难懂。本文在函数方面的研究主要要将微积分的方法推广到中学函数问题的运用中。

三、微分在中学数学中的应用

   根据定义：由函数，当给一个增量，相应得到，如果存在一个常数A，使可以被表示为，那么我们就可以认定函数在处可微，就称之为函数在处的微分。

3。1 微分法在不等式中的应用

在中学数学的教学中，不等式一直是一个重点同时也是难点，我们可以通过一些简单的差商运算来解决简单的不等式问题，但对于比较难的不等式问题，在微积分中我们一般可以采用微分中的求导方法来处理，但是在中学数学尚未接触到微积分时，这些问题需要繁复的步骤来解决，甚至无法解决。微分法在中学数学的不等式中的应用，主要是通过计算图形单调性来证明不等式。将不等式中的每个项都进行相应的变形，通过构建函数图形，通过讨论图形的单调性，从而解决不等式问题。

例1 已知a，b为正整数，且1<a<b，求证

   解析：这道题看似非常简单，但是无法直接通过验证来证明不等式，在中学数学中只能通过代入计算的方式得到近似结论，但是利用微积分的思想，我们可以将式子左右两边进行变换，将变为，则变为，整个式子就变为了证明，因为a，b都是正整数，所以两边相除不影响不等式关系，，此时不等式两边分别只有一个变量，可以看成两个函数之间的不等式比较。

构造一个函数，将这个函数求导可得，当时，，根据导数的性质，我们可以得到，当时，这个函数是一个减函数，而由于a，b都是大于1的正整数，所以，可以得出，即，，最终完成证明。

从这道例题中，我们可以十分清楚的看到，当一道非常复杂的中学不等式课题，运用了微积分中的求导定理，只需要简单的一两步，通过变换函数，得到图形特征，化繁为简，就可以得出结论。

例2 当时，证明不等式文献综述

解析：这道题在中学数学中经常出现，考的知识点是学生图形结合的能力，具体解法为画一个半径为1的圆，然后因为，取圆在x轴上半部分，任取一点M，过M点做垂直于x轴的线MN，交x轴于N点，连接圆点O，此时，而a是该点到x轴的弧长，如图3。1。1所示。由

此可得。

   而如果利用微积分函数的思想来解决这道题的话就不需要花许多精力去画图，只需要将式子变

换，令，求导之后可以得到

，因为条件为，所以，得到，即，由此可知，该函数在范围内单调递减，当a取0时，，所以当时，，，，原题可证。