本文参考其他学者在两类曲线曲面积分在教学中的探讨以及曲线积分曲面积分的性质和计算方法的研究,经过分析第一型曲线曲面积分和第二型曲线曲面积分的区别与联系,对它们之间的关系作了深层次的探讨;并通过一些典型例题使学生能够掌握两类曲线曲面积分之间的关系,这对广大学生学习曲线和曲面积分具有一定的指导意义。

1预备知识

1。1两类曲线积分和曲面积分的定义

1。1。1第一型曲线积分的定义

定义1[1]:设是平面上可求长的曲线,是定义在曲线上的二元函数,对曲线做分割,将分成个可求长度的小曲线段,的长度为,其中分割的细度为,在每一小曲线段中任取一点,当时,若和式的极限存在,即,且此极限的值不依赖于的取法和的分法,则称此极限为在曲线上的第一型曲线积分,记为。

1。1。2第二型曲线积分的定义

定义2:设是平面上一条可求长定向曲线是定义在曲线上的二元函数,给任一分割,将分成个小弧段,分割的细度为,在每个小弧段上任取一点,若,存在,则称它们的极限值为在有向曲线L上沿x轴的第二型曲线积分,在有向曲线上沿y轴的第二型曲线积分,分别记为,,并且若存在,则称它的极限为函数与沿有向曲线上的第二型曲线积分,记为 或,其中与分割与点的取法无关。

若为封闭的有向曲线,则记为:   

1。1。3第一型曲面积分的定义

定义3[1]:设是空间中的光滑曲面 ,是定义在上的连续函数[2],任给曲面一分割,将曲面分成个小曲面,并且每个小曲面的面积为,在每个上任取一点,作和数,其中分割为个的直径中直径最大者,若和数极限存在即,且不依赖于的分法和点的取法,则称沿可积,并称 为沿的第一型曲面积分,记为。

1。1。4第二型曲面积分的定义

定义4[2]:设为光滑有向曲面,在上有界,把曲面分割成个有向小曲面,且 在平面上的有向投影为,在上任取一点,为每个小曲面的直径最大者,作和数若和数极限存在,即,则称此极限为在有向曲面上沿平面的第二型曲面积分,记为。文献综述

同理可定义:,,           

分别把上述三个积分加起来得：

则称为在有向曲面上的第二型曲面积分。

1。2两类曲线积分和曲面积分的计算公式

1。2。1第一型曲线积分和曲面积分的计算公式

(1)化曲线积分为定积分:设的参数方程为且是光滑曲线(可导)[1],则有

(2)根据曲面方程的表示形式,化为二重积分计算。

    设有光滑曲面,它在平面的投影区域为,为定义在上的连续函数[2],则

其他的两种情况可以类似的给出

(3)设曲面的参数方程为:并且其雅可比行列式,,中至少有一个不为零[3],

则,其中

1。2。2第二型曲线积分和曲面积分的计算公式

(1)设平面曲线:从到,)在上连续,则 

(2)格林公式:

(3)直接计算:化为二重积分计算。

设R是定义在光滑曲面: 上的连续函数,以的上侧为正,则有其他两种情况可类似的给出。 

(4)参数方程计算:设曲面的参数方程为:,,  若在上各点的雅可比行列式不同时为[2],则分别有:

 。(5)高斯公式:来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

(6)斯托克斯公式:

2两类曲线积分之间关系的探讨及其应用

2。1两类曲线积分区别与联系的探讨

2。1。1两类曲线积分的区别

    (1):第一型曲线积分与曲线的方向无关;第二型曲线积分与曲线的方向有关[4]。例如:第二型曲线积分具有有向性即。