其中是实的,令从而,这里是的二元实函数。则 则是的复形式,由他的断言, 文献综述

 由复数的一些定理得到(2)

由此可得      显然 分别是的恰当积分,随之有:

                            。

同样也有一样的性质,欧拉强调了一个复函数的实部和虚部满足C。-R。方程。但他是利用积分(2)计算积分(1),由于等于原来的。

    十九世纪柯西在他的复函数理论方面的论文中,也提出了C。-R。方程 。柯西虽然提出了这个方程,并说明了这两个方程包括了由实到实过渡的理论。但是对于复函数的理论怎么包含在内并没有提到。

黎曼将一个复函数当成两个实变函数对来研究。黎曼定义解析函数从比较出发,这里是的实变函数。 存在只有当经过实数趋近于零时,极限存在。而 存在则要求的极限当依任何方式趋近于零时都存在。他定义的解析函数为当且仅当的值与微分无关。1846他得到了柯西-黎曼方程(即C。-R。方程)。

柯西-黎曼方程指两个二元实函数满足下面偏微分方程组   

这组方程组简称为C。-R。方程或C。-R。条件。C-R方程是复变函数论中一个重要的问题,它的应用贯穿整个复变函数论的始终。

1。2 有关C。-R。方程的重要结论

定理1。2。1[8](可微的必要条件)设函数 在区域内有定义,且在内一点可微,则必有

(1)偏导数在点存在;

(2)在点满足C。-R。方程。

定理1。2。2[8](可微的充要条件)设函数 在区域内有定义,则在内一点可微的充要条件是

(1)二元函数在点可微;来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

(2)在点满足C。-R。方程。

如果上述条件满足时,在点的导数能够表示为以下的形式之一:

定理1。2。3[8] 函数 在区域的充要条件是:

(1)二元函数在点可微;

(2)在点满足C。-R。方程。

定理1。2。4[8] 函数 在区域内解析的充分条件是:

   (1)在内连续;

(2)在内满足C。-R。方程。

定理1。2。5[7] 假设在上局部可积,且作为一个广义函数,它满足C。-R。方程,则在内与一个解析函数几乎处处是一致的。

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