在人类生产和实践过程中，为了满足过程中的某些需要，常微分方程便由此产生了。然而，很多人认为常微分方程是在微积分发明之后被发现的，其实不然，常微分方程的最初形态是在微积分的发明之前。常微分方程起初是在各个数学家们之间的往来信件中出现的，最早提出的是莱布尼茨，是1676年在一封给牛顿的信中提出的，数学名词“微分方程”由此出现。而且这些往来信件中所提到也许仅仅只是对于某些特殊的例子的解法说明。

常微分方程在很多领域中的贡献不言而喻，就比如人们因常微分方程而发现了海王星。这个故事是围绕天王星的位置一直与人们实际计算所得到的数据相差甚远而展开的，众说纷纭，有些人怀疑是因为计算时运用的万有引力定律不正确所导致的结果有误，还有不少人认为万有引力定律是正确的，只是可能受到其他影响因素，比如未知行星等而导致的计算结果不符实际。 不过他们没有足够的能力和勇气去探索和研究这颗他们心中的尚未发现的行星，然而一名英国23岁的大学生亚当斯拥有这样的能力和勇气，他凭借自身的智慧与积累的知识，通过建立微分方程求得以及推算出了这颗未知行星的轨迹，但由其是一名年轻学生而被怀疑其所得的成果是否具有可行性，最终不了了之。两年后，一名法国青年勒维耶同样的算出了海王星的位置并将预言位置告诉了天文台的助理员。 在五天后的晚上预言成真发现了海王星。 而这个故事充分展现了人类智慧博大精深，也体现了微分方程不仅在数学方面的意义，在其他方面也具有的巨大作用。因此，我们将微分方程的理论知识运用到实际应用中，依然已经获得了许多非凡成就。文献综述

对于数学这门学科，在解决许多实际的问题上，根据不同的情况，我们可以通过微分方程的运用从而建立不同的数学模型。 对于求解微分方程，从古至今已经有很多数学家提出了许多的解法，针对不同的方程，出现了不同方程的特殊解法，其中就包含着拉普拉斯变换解法。

法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749-1827)，主要研究天体力学和物理学。 他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。 1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。 所以，人们就用他的名字为这个方法取名——拉普拉斯变换。然而这个方法的实质，就是将复杂繁琐的微分方程转化为较为简单计算量较少的代数方程的一种求解方法，这样使原方程的计算和求解更加方便简单。 拉普拉斯变换常用作解常系数方程的方法，往往疏忽了在解变系数方程中的应用。 在变系数微分方程的求解过程中，拉普拉斯变换依旧遵循其本质将方程进行转换来简化求解。 

1。2 研究目的及主要研究内容

对于求解常系数微分方程来说，有很多种不同难易程度的方法，就比如常数变易法、特征根解法等。 然而，对于低阶比如二阶、三阶的变系数的微分方程，有很多的文献也得到了相关特征根解法或常数变易法等求解方法。 但是对于高阶的微分方程特别是变系数的方程就相对局限性较大，比如需要方程的变系数同时满足许多的条件进行求解，或者运用一些方法如待定系数法等将方程进行降阶求解，然而过程比较繁琐，相对的计算量也都特别的大。 本文研讨的主要目的是使一类n阶变系数满足一定条件的线性微分方程解题过程较简单、计算相对容易的一种有效的解法，为简化阅读，下文所研讨的方程均为线性的微分方程。