本文通过对张同斌老师主编的《高等数学》, 刑佳, 郭金萍老师主编的《高等应用数学》, 陈仲老师主编的《微积分》和华东师范大学数学系编著的《数学分析》, 以及各大期刊中的学术论文的研究, 总结了一些对无穷小性质的理解与运用, 以便恰当运用, 简化计算。

全文共四章, 在第二章介绍了无穷小定义与性质, 第三章介绍了等价无穷小的性质及其在微积分中的应用及其计算极限时的优势, 第四章介绍了高阶无穷小和其简单的应用。 

第二章 无穷小

无穷小量的概念在极限理论中有着重要的作用, 在此, 给出无穷小的定义与性质。 

定义2。1  若函数在自变量无限趋近与时极限为, 则称函数为当的无穷小量, 简称无穷小。 

性质2。1  文献综述

(1)有限个无穷小量的和仍是无穷小量。 

(2)有限个无穷小量的积仍是无穷小量。 

(3)无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量。 

本文主要介绍利用无穷小来解决极限等问题，为此，给出以下无穷小与函数极限的关系。 

定理2。1  在自变量中，若，则，，反之若，，则。 

利用此定理可以将一般极限问题转化为特殊极限问题。 

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢，为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度做出判断。 

(1)若, 则在时, 称是比高阶的无穷小, 记为。 

(2)若, 则在时, 称是比低阶的无穷小, 记为。 

(3)若, 则在时, 称与同阶无穷小, 特别当时, 称与为等价无穷小, 记为～。 

例如是的高阶无穷小, 为的低级无穷小, 与为等价无穷小。 

第三章  等价无穷小性质及其应用

3。1等价无穷小的性质定理

定理3。1。1  设在同一变化过程中, , , 均为无穷小, 若～, ～, 则～。 

证明    ～, ～, 则, 故～。 

定理3。1。2(等价无穷小的替换)  设在同一变化过程中, , , , 均为无穷小, ～, ～, 存在, 则。 

证明    。 

定理3。1。3  设在同一变化过程中, , , , 均为无穷小量, 且～, ～。 

(1), 则～。 

(2), 则～。 

证  根据等级无穷小性质可得, 故, 所以～。 

同理可证2

3。2利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小的各类性质, 可以将复杂的极限化简, 使计算量大大降低。 

在求函数极限时常用的无穷小量～～～～, ～, ～, ～。 

例3。2。1   求

解   当时, ～, ～, ～, 故有

此题利用提取公因式, 然后利用无穷小的替换得以求解, 用洛必达法则也能求解。 

例3。2。2  求

解   当时, 有～, ～, 故有

一般来说, 在极限的计算过程中, 无穷小替换在求积的过程中很方便, 那么如果分子或分母出现求和, 分子或分母不能进行整体代换, 是否能够在求和的时候使用等价无穷小的替换呢? 而这是否需要一些特别的条件呢? 

由定理3。1。3可知, 在求和的过程中同样能够使用等价无穷小的替换, 但它需要满足一些条件, 这已在定理3。1。3中列举。 由于在学习过程中不严谨, 而利用等价无穷小替换又十分方便, 故而我们在求极限的时候频繁使用等价无穷小替换, 却时常得不到正确答案, 原因就在于当分子分母出现代数和形式的时候也盲目使用, 而忽视了它的条件。 来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-