对柔性身管的简化并不是将整个物理空间的身管纳入数学模型中，而是考虑了身管的下壁，这也有利于后续控制章节引入压电作动器后的数值设计。

2。2悬臂梁自由振动方程及振型函数推导

对于柔性身管的简化普遍做法是将其看作一根悬臂梁，本文对于柔性身管的振动研究主要集中在对简化后的Bernoulli-Euler悬臂梁的弯曲振动[12]。弯曲振动指的是当梁各截面的中心主轴在同一平面内，外载荷也作用于该平面内，则梁的主要变形是弯曲变形，且梁在该平面内的横向振动被称之为弯曲振动。梁的弯曲振动频率通常低于它作为杆的纵向振动或作为轴的扭转振动的频率，更容易被激发。因为将弯曲振动视为竖直平面内的主要特征扰度在工程研究上具有重要意义。

为后续独立模态空间控制方法的需要，需求解悬臂梁模型的固有振型函数（即模态函数）。这里先推导一般直梁的固有振动方程，附加以悬臂梁的边界条件而求出的频率方程，便可以求得悬臂梁的固有振型函数。

2。2。1Bernoulli-Euler直梁的自由振动微分方程

如图2。1所示设有长度为的直梁，取其轴线作为轴，并将原点取在梁的左端。各处横截面积为，材料弹性模量为，质量密度为，截面关于中性轴矩为。用表示坐标为的截面中性轴在时刻的横向位移，和分别表示单位长度梁上分布的横向外力和外力矩。取长为的微段作为分离体，Q和M分别是截面上的剪力和弯矩，是梁微段的惯性力。

图2。1直梁的力学微元分析

根据牛顿第二定律，梁微段的横向运动满足[12]

考虑Bernoulli-Euler直梁对于细长梁的低频振动，可以忽略梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，对单元的右端面一点取矩并略去高阶小量得

或写为

将上式带入式(2。1)，得到

由材料力学可知，，将之带入上式即可得到Bernoulli-Euler梁的弯曲振动微分方程

对于等截面均质直梁，与为常数，于是上式变为

下面考虑梁的自由振动，令方程(2。6)中的，得到等截面均质直梁弯曲自由振动微分方程

这是一个四阶常系数线性齐次偏微分方程，可用分离变量法求解。设梁具有如下形式的横向固有振动

将上式带入方程(2。7)得

其中表示对的4阶导数。上式还可以写为

该方程左端为x的函数，右端为t的函数且x与t彼此独立，故方程两端必须同时等于一个常数。可以证明该常数费负，记其为。因此，式(2。10)分离为两个独立的常微分方程

 式中

解方程(2。11)得

式(2。13)的第一式描述了梁横向振动幅值沿梁长的分布，并含有固有频率。梁横向振动幅值在梁的两端必须满足给定的边界条件，由此可以确定（或比值）。第二式则描述了梁振动随时间简谐变化，同样，常数和由系统的初始条件所决定。

2。2。2Bernoulli-Euler悬臂梁振型函数

 由悬臂梁的边界条件可得频率方程为

该方程的的根可由图解法大致确定后再用MATLAB精确化，对于每一阶固有振型函数则上式变为

由于悬臂梁的总固有振型函数主要由低阶振型函数决定，故在本次研究上由程序精确化得到的数据只需要前5阶结果：

1。8751，4。6941，7。8548，10。9955，14。1372，…

固有频率为

固有振型函数为

其中

2。3移动质量-梁耦合系统建模

随着弹性体结构的轻型化和柔性化以及作用在弹性体结构上移动载荷惯性力增加，移动系统作用下弹性体结构动力学问题在许多工程应用领域得到了广泛的关注。在武器装备系统中，移动弹丸对柔性身管的作用、导弹火箭发射时对发射梁的作用都视为移动质量作用的例子。移动载荷作用下弹性体振动问题主要分为三种：(1)移动力模型；(2)移动质量模型；(3)移动振动模型，即移动质量—弹簧-阻尼系统模型。本文将要论述的是第二类模型的建立方法。