式中m为负载总惯量,y为系统的位置输出,T为电机提供的驱动力,B为位置伺服系统总的粘性摩擦系数,f为未建模的摩擦效益及外负载干扰。  

2)电机的电气动态方程  

基于基尔霍夫定律等电气方程,电机的电气动态方程可建模如下:  

(3-2)  

式中L为电枢电感,I为电枢电流,u为控制输入电压,R为电枢电阻,Ke为反电动势系数,ω为电机转子角速度。  

3)电机的输出力矩  

电机的输出力矩可表述为:  

(3-3)  

式中KT为电机力矩常数。  

基于上述建立的电动伺服系统的微分方程,经由拉普拉斯变化,推导其传递函数的过程如下:  

运动方程的拉普拉斯变换如下:  

(3-4)  

电气方程的拉普拉斯变换如下:  

(3-5)  

由式(3-4),(3-5)可得系统的开环传递函数表达式如下:  

(3-6)  

式中G(s)为控制输入u到系统输出y的传递函数,D(s)为干扰f到系统输出y的传递函数,其表达式分别如下:  

(3-7)  

(3-8)  

由(3-7)可知,系统三阶系统,系统开环特性完全由负载特性参数及电气特性参数所决定。由其分母表达式可知,传递函数包含一个积分环节,为I型系统,意着单位闭环系统在常值指令跟踪条件下无静差。系统控制输入u与系统速度输出之间的关系可表述如下:  

(3-9)  

由(3-9)可知,系统的速度响应为一个典型的二阶系统,其开环增益为  

(3-10)  

速度响应的固有频率fn和阻尼ξn分别为:  

(3-11)  

基于Matlab/Simulink建模工具,将上述模型可表述为如图3-2,3-3所示框图:  

图3.2运动系统的建模方程  

图3.3电气系统的建模方程  

针对某电机位置伺服系统如图3-4所示:  

图3.4真实的电机位置伺服系统  

其电机主要参数如图3-5所示:  

图3.5电机的主要参数  

系统开环伯德图分析如下:  

图3.6电机开环仿真伯德图  

3.2电流闭环系统建模与仿真  

上述建模过程仅仅考虑了标准化的系统动态方程,然而,在实际的位置伺服系统中,电机及其驱动器往往是成熟的商业化产品,由于驱动器内部存在不可更改的固化的电流闭环控制器,因此,上述建模过程及其推导并不符合真实的物理系统,需要基于电流闭环进行系统的建模。  

在电流闭环作用下,电动位置伺服系统的示意图可描述如下:  

图3.7带电流闭环驱动器的电动位置伺服系统  

通常,在驱动器内部的电流闭环中,比例-积分(PI)控制器应用最为广泛,下文将基于此PI闭环控制器建立系统的数学模型。  

带PI控制器的驱动器及其位置系统如图3-8所示。  

图3.8带电流闭环驱动器的系统框图(图中V为作用在电机上的电压)

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