式中ε2为任意小的正常数。  

由上述设计过程，跟踪误差z3的动态可写为：  

(4-20)  

由此，可设计最终控制率如下：  

(4-21)  

式中ε3为任意小的正常数。  

由此则z3的动态可化为：  

(4-22)  

取参数自适应率如下：  

(4-23)  

则由自适应鲁棒控制理论可知，所设计的控制率可确保系统可以获得优良的跟踪性能。  

零动态验证：  

当系统处于零动态时，z1=z2=z3=0，则  

(4-24)  

(4-25)  

式中为为零动态式参数估计停止时的估计值。  

因此零动态可化为：  

(4-26)  

即  

(4-27)  

观察上式，由于零动态时z1，z2，z3均为0，此时参数估计均停止，即参数估计为常值，因此上式右端一致有界，因此零动态是稳定的。  

4.4基于新状态方程的控制算法验证与对比分析  

基于建立的电动位置伺服系统的仿真模型，针对基于简化模型的自适应鲁棒控制器(后文记为原ARC控制器)和基于状态方程的新自适应鲁棒控制器(后文记为新ARC控制器)进行仿真验证。二控制器取相同的控制参数如下：  

图4.7原ARC控制器和新ARC控制器  

首先，现将电流闭环控制器的PI控制器的增益设置为较大值，以保证电流闭环具有足够快的电气响应。在此仿真模式下，原ARC控制的假设基本成立，此时原ARC控制器和新ARC控制器均应取得良好的控制效果。  

然后，通过改变电流闭环PI控制器的参数，如更改积分增益的值，以大幅改变电流闭环的动态行为，如较小的积分增益将导致电气系统的响应降低，当电气系统的响应下降较大时，此时电气动态的响应将对系统的整体动态参数较大影响，因此，实际原ARC控制器的假设将不再成立，因而，从理论上讲，在此情景下，原ARC控制器将不再能够获得良好的跟踪性能。反观新ARC控制器，由于其在设计的过程中就已充分考虑了电流闭环控制器动态响应的影响，并作出了有针对性的设计，因此即使当电气动态特性发生较大变化时，新ARC控制器的跟踪性能理论上不会发生太大变化。  

图4.8原控制器控制性能  

图4.9新控制器控制性能  

图4.10新ARC控制器的参数估计(θ1~θ4)  

图4.11新ARC控制器的参数估计(θ5~θ8)  

图4.12新控制器下虚拟控制率α2与最终控制率u的对比  

由上述对比分析可知，当跟踪指令慢速变化时，由于电气动态足够快，因此忽略其影响直接设计ARC控制器的控制效果是非常理想的，此时，新设计的控制器作用并没有显现，其控制精度基本与原ARC控制器一致(在暂态阶段甚至略差于原控制器)，这主要是由于新控制器基于一个动态过程才能得到合理的作用力α2，如上图虚拟控制率与u的对比。  

但是，当跟踪指令增快时，尤其是频率增大时，此时电气动态的作用就会显现出来，另外，从构建的新的状态方程可知，由于直接使用了状态反馈x4，因此，此时电流环积分作用ki没有体现出来，ki可以给任意值，甚至为0，这与基于线性系统的分析理论不符。通过修改ki值，从6000直接降为6可发现，原ARC控制策略明显变差，而新设计的控制策略则没有任何影响：