摘　要：向量数量积公式是解决数学问题中重要公式之一．在证明公式、解决几何问题和方程问题等方面有着重要运用，所以理解并熟练运用向量数量积公式非常重要．本文主要论述了向量数量积的定义及其在解决相关数学问题中的具体应用．94838

毕业论文关键词：向量，内积，向量的数量积

Abstract: Scalar product formula of vector is one of the formulas to solve mathematical problems。 It plays an important role in the derivation of the proof formula, the solutions of geometric problems and the problem of equations。 Therefore, it is very important to understand and use the vector quantity product。 This paper discusses the definition of scalar product and its application in solving mathematical problems。

Keywords: vector, vector inner product, scalar product of vector

目　　录

1　引言4

2　向量以及向量数量积4

2。1　向量数量积的定义4

2。2　向量数量积的性质4

3　向量数量积的应用5

3。1　定理证明5

3。2　公式推导6

3。3　几何应用6

3。4　最值问题求解9

3。5　等式及不等式证明10

3。6　方程及方程组求解11

3。7　线性规划问题求解12

结论13

参考文献14

致谢15

1　引言

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最初被应用于物理学，很多物理量如力、速度、位移等都是向量．

向量不仅仅在物理学方面向量有所应用，在解决数学的平面几何、空间立体几何问题中，也都利用了向量的知识，而其中最常用的就是向量的数量积公式，所以了解并掌握向量数量积公式不仅仅有利于几何问题的解决，同时也可以拓展解决其他方面的问题．来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

本文对向量以及向量数量积及其应用进行讨论．

2　向量以及向量数量积

将既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）．其中模为1的的向量叫做单位向量．模为0的向量叫做零向量，记作 ．零向量方向不定．不是零向量的向量叫做非零向量．

2。1　向量数量积的定义

对于两个非零向量 和 ，这两个向量的模和它们夹角的余弦的乘积称为 与 的内积或数量积[1]，记作

 ．

设向量 ， ，则向量数量积的坐标表示为

 ．

2。2　向量数量积的性质

定理　设 和 是两个非零向量，则 的充分必要条件是 ．

向量数量积的运算规律[2]：对于任意向量 与任意实数 ，有

1） 

2）交换律　 ．

3）结合律　 ．

4）分配律　 ， ．

5）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．

向量数量积与实数运算的不同点

1）不满足结合律　 ．

2）不满足消去律　由 推不出 ．

3） ．

4）由 推不出 或 ．

3　向量数量积的应用论文网

利用向量数量积证明定理或推导公式时，注意数形结合，构建适当的向量模型，合理运用数量积公式的变形公式，就能简单快速的推导出定理或公式．在解决几何问题方面，首要就是建立适当的坐标系，找出对应点的坐标．如求距离问题，可直接利用数量积公式求解，在夹角问题中，如面面角问题，可将面面角转化为法向量的夹角，直接利用变形公式和反函数进行求值．在解方程或者解方程组问题中，首先要分析方程(组)的结构，观察是否可转化为向量数量积形式进行计算，同时也要注意方程(组)中未知数的取值范围．