几类时间序列模型设定检验方法的比较分析(4)
具体地说，考虑 变量回归模型： （1.1）
如果 的均值为零，对 取基于( )时刻的信息期望，即 ，有如下关系：
由于 的条件均值近似等于式（1.11）的估计值，所以式（1.1）也称为均值方程。
这个模型中，变量 的条件方差为
式中： 表示基于( )时刻的信息集合 的 的条件方差，出现这种情况的原因可能是因为扰动项存在自回归结构。
假设在( )时刻的所有信息条件下，扰动平方项 服从AR(1)过程：（1.2）
式中： 是白噪声过程，满足：
这样，扰动项 的条件分布是
也就是，服从以0为均值，为 方差的条件正态分布。
方差方程（1.2）表示 的条件方差 由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的扰动平方 表示（ARCH项）。
由于式（1.2）中 的条件方差只依赖前一期的扰动项平方干扰，所以称为ARCH(1)过程。通常用极大似然估计得到参数 , , , , , , 的有效估计。
一个自然延伸的ARCH(p)过程，可以写为 （1.3）
这时方差方程中( )个参数 也要和回归模型中的参数
一样，利用极大似然估计法进行估计。
在ARCH(p)过程中，由于 是随机的， 不可能为负，所以对于 的所有实现值，只有
是正的，才是合理的。为使的协方差平稳，所以进一步要求方程
的根全部位于单位圆外。如果 都非负，式（1.19）等价于
。如果扰动项的条件方差不存在自相关，就有： 。这时
从而得到误差为条件方差的同方差性情形。
总之，一个ARCH(p)模型的表达式为
上一篇：试论数学中的美+文献综述
下一篇：一阶常微分方程周期系统的研究