摘要：不等式是解决数学问题的重要工具，几个重要的不等式在数学中的应用非常广泛。 本文深入研究了这几个重要不等式。分别为 Cauchy 不等式、 Schwarz 不等式、切比雪夫 不等式和平均值不等式。我们将先给出这些不等式的基本形式，然后再通过举例说明这些 重要的不等式在证明不等式、求函数最值等方面的应用。从而进一步加强对这些不等式的 理解，为某些问题解决提供思路。 71444

毕业论文关键词：Cauchy 不等式，Schwarz 不等式，切比雪夫不等式，平均值不等式 

Abstract：Inequality is an important tool to solve mathematical problems, and several important inequalities are widely used in mathematics. In this paper, some important inequalities are studied including Cauchy inequality, Schwarz inequality, Chebyshev inequality and mean value inequality, respectively. We will first give the basic form of these inequalities, and then give some  examples  to  illustrate  the  applications  of  these  important  inequalities  in  the  proof of

inequality, and solving the extreme value of a function. As a result ,we will strengthen the understanding of these inequalities and provide ideas to solve some of the problems.

Keywords：Cauchy inequality, Schwarz inequality, Chebyshev inequality, mean value inequality

目录

1 引言 3

2 几个重要的不等式及其应用 4

2.1 柯西不等式 4

2.1.1 利用柯西不等式证明不等式 4

2.1.2 柯西不等式在解三角形方面的应用 5

2.1.3 利用柯西不等式求最值 6

2.1.4 柯西不等式在解方程方面的应用 7

2.2 Schwarz 不等式 7

2.2.1 Schwarz 不等式在积分不等式证明方面的应用 8

2.2.2 利用 Schwarz 不等式证明其他不等式 8

2.3 切比雪夫不等式 10

2.3.1 利用切比雪夫不等式证明一些不等式 10

2.3.2 切比雪夫不等式在误差、估值方面的应用 11

2.4 平均值不等式 12

2.4.1 利用平均值不等式求解最值 12

2.4.2 平均值不等式在求极限方面的应用 13

2.4.3 利用平均值不等式证明不等式 13

结论 15

参考文献 16

1 引言 

在数学理论中，不等式理论有着重要地位，它涉及到数学的各个领域，因此有必要清 晰的认识不等式理论的发展历史。在数学的学习研究中，不等式是一个十分重要的内容， 应用在初等数学、高等数学以及数学分析中，在计算和证明中有着无法替代的作用。