目前,在世界各个国家中，都有数学工作者对不等式理论倍感兴趣。不等式的证明很 有趣且富有挑战，因为它不像等式那样具有可确定性，不等式更加像给定一个界限，再制 定一个条件来规范，再划定一个范围。证明不等式没有一个固定的套路，证法因题而易， 技巧性较强。运用定义和基本性质是最基本的方法，并通过代数变换来证明。 

一个大家熟知的不等式，要追寻它的起源是很艰难的，它很可能在涉及几何或者文学 方面的论文中当成一个辅助命题出现，然而在表达的时候确定并不是很明确。许多年后， 它又可能被其他的作者重新发现。但可能没有一个说得过去的阐述是非常完善的。我们会 经常发现，那些著名的不等式，如柯西不等式、施瓦茨不等式、切比雪夫不等式、平均值

不等式等，在数学的其他方面都要用到。 论文网

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近年来，不等式的研究受到广泛的关注

。2013 年，蔡洪新从柯西不等式定

义入手，通过柯西不等式三种证明对柯西不等式进行本质的理解，系统探究了应用技巧。

对 Schwartz 不等式进行了证明，并在高等数学中，利用 Schwartz 不等

式对几个重要的不等式进行了证明，探究了在匹配检测器中的应用。2012 年，霍玉洪 介

绍并证明了切比雪夫不等式，然后利用切比雪夫不等式对切比雪夫大数定律进行了证明，

最后介绍了其他应用。2013 年，金小武

多元函数的条件最值方面的应用。 

介绍了平均值不等式，对阐述了它在求解一类

本文研究的是几个重要的不等式及其应用。我们将会从柯西不等式、施瓦茨不等式、 切比雪夫不等式、平均值不等式这四个不等式出发，了解它们的基本形式，并通过分析研 究，掌握放大收缩技巧，在它们各自具体的实际应用中进一步的理解和掌握它们，从而我 们可以更好地运用它们。熟练的掌握这些重要的著名的不等式，并利用它们来证明一些难 度较大的不等式，可以让我们在解决问题时更富有技巧性，表现的更加游刃有余。 

2 几个重要的不等式及其应用 

2.1 柯西不等式 

柯西不等式是由数学家柯西在探究数学分析中“流数”问题时得到的。但从历史的角

度讲，此不等式应当称为Cauchy − Buniakowsky − Schwarz不等式，因为，正是在后两位 数学家在积分学中推而广之，才将此不等式应用到接近完善的地步。 

柯西不等式的基本形式 

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