4 结论 24

参考文献 25

致谢 26

引言

不等关系是数学中的基本关系，在数学中是一门独立的分支，在数学分析、数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有着重要的地位，可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用.论文网

不等式是数学研究及学习中的重要工具之一，有着不可替代的地位.同时，由于不等式本身比较抽象，逻辑性也比较强，以及它的证明非常灵活，方法多种多样，没有固定的模式，所以想要真正的驾驭它也是比较困难的.利用微积分的理论知识去解决一些初等数学中的不等式问题是比较简单的，反之，利用初等数学知识能够解决的高等数学中不等式的问题是比较有限的. 我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.下面将介绍一些微积分理论知识在不等式证明中的应用.

微积分理论

微积分理论应用在数学中是非常广泛的，下面将列举本文中所将应用到的一些微积分的理论. 

定义1设函数 在点 的某一邻域内有定义，若极限

存在，则称函数 在 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记为 .

定义2设 是定义在区间 上的函数，若对 上任意两点 和任意实数 总满足

则称 为 上的凸函数.

定义3 设函数 在点 的某个空心的邻域 内有定义， 是定数，若对 ，存在正数 ，使得当 时，有

则称函数 趋于 时以 为极限，记作

 定义4 设 处任意次可导，则称

右端为 处的Taylor级数；当 时，上式称为Maclaurin级数；当 处解析时，上式称为 处的Taylor(级数)展式. 

性质1 设 为 上的可积函数.若 ，则 。

性质2 若 上的两个可积函数，且，则有

 定理1设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸函数的充要条件是

定理2 若函数 在闭区间 内连续，在开区间（a,b）内可导，若 ，则 在 上单调递增(递减).

 定理3 若函数 在闭区间 上连续，且 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得

即方程 在 内至少有一根.

定理4 设 在点 连续，在某一邻域 内可导

若当 ；当 ，则 在点 处取得极小值；

若当 ；当 ，则 在点 处取得极大值.

定理5 设 在 的某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 。

（1）若 ，则 在 取得极大值；

（2）若 ，则 在 取得极小值.

定理6 若函数 满足如下条件：

 在闭区间 上连续；

 在开区间 内可导，

则在 内至少存在一点 ，使得

定理7 设函数 满足

（1）在 上都连续；

（2）在 内都可导；

（3） 不同时为零；

（4） ，则存在 ，使得

定理 8 设函数f(x)在区间I上有导数，则f(x)在I上为凸函数的充要条件是

f‘(x)↗（x∈I时）.文献综述

推论 若f(x)在区间I上有二阶导数，则f(x)在I上为凸函数的充要条件是

f’‘(x)≥0. 

对于上述一系列微积分理论，我们将通过以下一些实例来介绍微积分理论在不等式证明中的应用.

微积分理论在实例中的应用