利用导数定义证明不等式法

导数定义

导数定义的应用，一般是用来直接求已知函数的导函数.但是，在求某个导数之前，我们首先要考查这个函数在某点处是否存在导数，我们通常是通过左导数： 以及右导数： 是否相等来判断已知函数在某点 处是否可导.具体的方法是： .

举例

例1：若g(x)=x ln⁡x，设0<a<b，求证： 0<g(a)+g(b)-2g((a+b)/2)<(b-a)ln⁡2.（2004年高考题改编）

分析：代证不等式中两个平行元素，本例中以b为主元构造函数证明.

证明：先去证左边的不等式.构造函数F(x)=g(x)+g(a)-2g((x+a)/2)，

故原不等式左边即转化为证明当x>a>0时，F（x）>0；

因为F^' (x)=g^' (x)-2g^' ((x+a)/2)=ln⁡〖x-ln⁡〖(x+a)/2〗 〗，当x>a>0时，F^' （x）>0，故函数F（x）在（a，+∞）上单调递增，再由0<a<b和F(a)=0得F(b)>0.

再去证右边不等式；构造函数G(x)=F(x)-(x-a)ln⁡2，原不等式右边即转化为证明当x>a>0时，G（x）>0；

因为G(x)=F^' (x)-[(x-a)ln⁡2 ]^'=ln⁡〖x-ln⁡〖(x+a)/2〗 〗-ln⁡2=ln⁡x-ln⁡〖(x+a)<0〗，函数G(x)在（a，+∞）上单调递减，由0<a<b，得G(a)<G(b)，又G(a)=0，∴G(b)>0.

综合以上可知原不等式成立.来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com

例2：设p(x)=x，q(x)=1-x，f(x)是多项式，f(x)≥p(x)，f(x)≥q(x)，（∀xϵ(-∞，+∞).试证：f(1/2)>1/2

证明：由题已知f(1/2)≥p(1/2)=1/2.现在证明f(1/2)>1/2.在事实上，若f(1/2)=1/2，则

当x>1/2时，(f(x)-1/2)/(x-1/2)≥(p(x)-1/2)/(x-1/2)=(x-1/2)/(x-1/2) =1，

所以〖f^'〗_+ (1/2)=lim┬(x→1/2+0)⁡〖(f(x)-1/2)/(x-1/2)〗 ≥1.

当x<1/2时，(f(x)-1/2)/(x-1/2)≤(q(x)-1/2)/(x-1/2)=(1-x-1/2)/(x-1/2) =-1，

所以〖f^'〗_- (1/2)=lim┬(x→1/2-0)⁡〖(f(x)-1/2)/(x-1/2)〗 ≤-1.

综上故f(x)在x=1/2处不可导，与f(x)为多项式矛盾.

例3：已知函数 ，其中， 均为实数，n为正整数.已知对于一切实数 ，都有 ，试证:.

证明：由题目中的条件可知令 ，则有 ，利用导数的定义可得：又因为 ，所以有 ，即

利用函数的凹凸性证明不等式

定义及判别法

由定义及判别法有： 在某区间上凹（或下凹） ，也即

f（(x_1+x_2+⋯+x_n)/n）<[f(x_1 )+f(x_2 )+⋯+f(x_n )]

（或f（(x_1+x_2+⋯+x_n)/n）>[f(x_1 )+f(x_2 )+⋯+f(x_n )]）

由此可证明一些不等式，特别是含两个或两个以上变元的.