因此本文通过查阅相关文献，旨在讲述柯西、均值以及Young不等式这几种特殊不等式的形式、证明方法以及推广应用。

2  Cauchy不等式的证明与推广

2。1  Cauchy不等式的形式

柯西不等式是著名数学家柯西(Cauchy)研究数学分析中得到[1]。它在不等式学习中非常重要，是数学研究内容之一[2]。柯西不等式有多种形式，以下进行简要介绍。

1）。 柯西不等式二维形式

二维柯西不等式是我们最熟悉也是运用最广泛的一种形式。它的数学表达式和变形式分别如式2。1和式2。2所示。

 ， （2。1）

  。 （2。2）

上述两式中，当且仅当 （即 ）时，等号才能成立。另外，若当 且 时，则柯西不等式可以退化为如式2。3所示的均值不等式。

  。 （2。3）

2）。柯西不等式的一般形式及推广式

柯西不等式的一般形式如式2。4所示。

     。 （2。4）

上式中，等号成立的条件为 ，或者 、  中有一个为 。

积分形式为

 。

概率论形式为

 。

由于篇幅限制，还有一些其他的推广式就不一一列举了。

柯西不等式最先也只是一种假设猜想，通过柯西的严谨数学方法得以证明后，随后被推广应用到了微积分高等数学领域，获得了高度的认可。我在参考旧文献资料得到柯西不等式的证明方法、过程以及相关的推广应用。文献综述

2。2  Cauchy不等式的证明

2。2。1  二维形式和三角形式的证明

这两种形式的证明相对来说，十分简单。只需将式2。1中不等号左边的式子进行展开，然后变形为 的形式，从而很容易得出结论，不等式得证。

而三角形形式的证明相对来说要复杂一点，做推导如下：

 ,

则有

 。

2。2。2  向量和积分形式的证明

1）向量形式的证明

 。

2）积分形式的证明

积分形式的证明需要构造一个二次函数，再利用微分来考察函数的单调性，从而使得命题得证。具体步骤如下。

构造一个二次函数为

 。

所以该二次函数与 轴没有交点， ，即

 ,

因此不等式得证。

2。2。3  一般形式的证明

证 方法一：判别式法

一般形式的证明则需要构造一般形式的矩阵向量来分析。其过程如下

假设 ，则 。其中 因此方法二：数学归纳法

（I） 时， ，不等式成立。

（II）如果 时，不等式成立，则

令综上所述，对于任意的正整数 ， 、 为常数时，均有式2。4成立。

2。3  Cauchy不等式的推广

柯西不等式是一个重要的不等式，灵活应用可以很轻松处理复杂问题，如不等式和恒等式的证明，求极值等。因此，它的推广和应用十分广泛，且意义重大。

2。3。1  Cauchy不等式的推广来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

柯西不等式的一般形式推广

  （2。5）

此推广形式又称为卡尔松不等式，其表述是：在 矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。二维形式是卡尔松不等式 时的特殊情况。