5。2 利用几何意义解题 14

5。3 证明不等式 15

参考文献 16

致    谢 17

1 微分中值定理的历史与发展

1。1引言

微分中值定理是微分学的基本定理之一，它是研究函数的有力工具。微分中值定理不但具备明显的几何意义而且还具备运动学意义。举例说明：拉格朗日(Lagrange) 中值定理的几何意义是一个在 上连续，在 内可微的曲线段 ， 必有  ，曲线在点 的切线平行于连接点 与  的割线。它的运动学意义：设 是质点的运动规律，则质点在时间区间 上走过的路程为 ，在 上的平均速度为 ，存在 的某一时刻 ，质点在 的瞬时速度恰好是它的平均速度。

1。2 微分中值定理产生的历史

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这是古希腊数学家在几何研究中得到的结论，也是拉格朗日定理的特殊情况， 阿基米德(Archimedes) 是希腊著名的数学家，他巧妙的运用这一结论求出了抛物弓形的面积。文献综述

    来自意大利的卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635 年) 的卷一中，给出处理平面和立体图形切线的有趣引理。在几何的观点上，其中引理三也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。

   而在微积分建立之初，人们就开始对微分中值定理进行了研究。在1637 年, 著名法国数学家费马( Fermat) 著作了《求最大值和最小值的方法》，其中便给出了由自己命名的费马定理，并出现在如今的教科书里。 

1691 年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。

又经过了一个世纪，在 1797 年,著名的拉格朗日定理产生了，它是由世界闻名的法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中提出, 并给出了最初的证明。

 在今后的日子里，法国数学家柯西(Cauchy) 对微分中值定理进行了系统的研究,并对其归纳总结，可以说是他使得数学分析更加严格化。他的三部巨著《分析教程》和《无穷小计算教程概论》(1823 年) ，还有《微分计算教程》(1829 年) 完善了对微分中值定理的研究。 他让微分中值定理成为微分学的核心定理，所以他赋予了中值定理的重要作用。

2 微分中值定理的性质

经过费马到柯西众多数学家的不断研究，微分中值定理的理论知识不断丰富完善。它是罗尔定理，朗格朗日中值定理，柯西中值定理的总称。

    在大学《数学分析》中，我们初步认识了微分中值定理。微分中值定理的教学对微积分课程的学习起到了承上启下的作用。

    下面由罗尔定理逐渐深入到拉格朗日中值定理和柯西中值定理的统一形式。论文网

2。1 罗尔定理

罗尔中值定理，若函数 满足如下条件：

   (i)在 上连续；

  (ii)在 内可导；

（iii） ，

  则在 内至少存在一定 ，使得 。（如图1）

  几何意义：对于满足以上三个条件的函数，必然存在一条与 轴相平行的切线（及斜率为0的切线）。

注：定理中的三个条件如果缺少任何一个，结论将不一定成立。