泊松在书中大量使用数学和哲学的框架，主要就是为之后讨论的问题提供一个合理的哲学基础和有效的数学方法。书中另外的重要意义在于，泊松同时在他的这本概率论著作中给出了概率论研究中的两个重要成果。

第一个主要成果就是“泊松分布”。泊松分布是二项分布的一种特殊形式，是用二项分布的一个积累函数推出的，也就是说柏松分布是二项分布的一个极限形式。

第二个就是现在在各大概率论书籍中都有提到的泊松大数定律。泊松将伯恩利所提出关于“大数”的定律加以推广，将定律的适用范围扩大到不相等的情况下，是原来定理的一个延伸。

泊松是第一个将随机变量与传统的误差观测分类讨论的人，他把随机变量独处出来研究，认为它的地位与其他概念同样重要。本质上他并没有发现比拉普拉斯、高斯更多有关概率论的知识和应用，但他扩充了这些概念并加以延伸，因此同样确立了在分析概率论史上的地位。

在泊松之后，俄国数学家切比雪夫(Chebyshev)在概率论的极限理论方面做出了巨大的贡献，使概率论迈入一个新的时代。他研究并发展了概率论的相关定理，尤其是大数定理，使大数定理成为统计学上的重要理论。他尝试使用矩方法来证明概率论的极限定理，并去精确计算误差的估计值。

此外，切比雪夫也首先肯定了随机变量和期望值概念的价值，并且将这两个概念应用代入到日常的研究中去。从切比雪夫开始，随即变量及其期望值能够带来更合适和更灵活的算法。

切比雪夫对概率论最重要的贡献并不在于他发现的各条定理，而是在于他的概率思想。著名数学家柯尔莫哥洛夫(A。N。Kolmogorov)曾这样评价他的概率思想：“从方法论的观点来看，切比雪夫为概率论研究带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家，其工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中精确估计出任何试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来。”（引用自《数学珍宝》）

分析概率论的发展在19世纪基本已经发展到一定程度了，但当时的这些著作和论文期刊都普遍缺少数学的严格性，概率论中公理化的测度论还没有发明，概率论的不严谨也就顺理成章了。

在进入20世纪之前有一个数学家贝特朗提出了概率论中的著名的“贝特朗悖论”，这也让他成为概率论史上的著名人物。

贝特朗在著作中提到了这样一个问题：在半径为1的园内随机选取一条弦，问其长超过圆内接等边三角形的边长的概率为多少？贝特朗给出了这个问题的三个解答。

解法1：任何弦交圆周两个点。首先固定一个点在圆周上，然后以这个点为顶点做内接等边三角形。只有在这个三角形面积内的弦的长度才会超过边长，而这种弦的长度为圆周的1/3，所以概率为1/3。

解法2：首先确定弦上的一个点，在圆内再作出一个半径为1/2圆周的同心圆，当且仅当弦上的点属于同心圆内，弦满足题意。小圆的面积为大圆的1/4，所以概率为1/4。

解法3：弦长跟它与圆心的距离有关，方向无关，所以假设它垂直于某一条直径。在这种情况下，当且仅当它与圆心的距离小于1/2时，才满足题意。因此所求的概率为1/2。（引用自《数学史概论》）

这个问题是概率论中的经典悖论，一个问题有三个不同的结果，但它们又都同时符合实际的情况，与数学论断的确定不变性所背离。看似解决的问题好像又没有解决，这是因为在三种解法中贝特朗都假设概率的参数均匀分布于所划区域内。文献综述