1。函数极值的定义

研究极值问题就相当于研究一个函数的最大与最小值的问题,他的自定义区域是一个有界闭区域,每一个连续的函数在这个区域上都会存在最大值和最小值,对极值研究主要是为了确定连续函数在哪一个点能够取到该函数的最大值或者该函数的最小值。

1。1 一元函数极值的定义

定义1。1 假设函数在的某个邻域内有定义,如果对这个邻域内的全部的点,都满足

,

则是函数的一个极大值;如果对该邻域的所有的点,都有

,

则是函数的一个极小值。极大值和极小值统称为极值;极值点就是极大值所处的点或者极小值所处的点

定理1。1(一元函数极值必要条件)

假设一元函数在处是可导的,且是函数的一个极值,即为极值点,那么是可导函数极值存在的必要条件。

因为,如果,然而不一定是函数的极值点。例如,函数,,然而当时,当时,而。可知x=0不是它的极值点。

定理1。2(一元函数极值充分条件)

设一元函数在点的某个空心领域内存在二阶偏导,且,则

(1)当时,则在处取得极小值;

(2)当时,则在处取得极大值;

(3)当时,则在处取不到极值。

1。2 二元函数极值的定义

定义1。2 设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任何点,成立不等式 (或)则函数在点处取到极大值,那么为函数的极大值点(或函数在点处取到极小值,那么为函数的极小值点)

定理1。3(二元函数极值必要条件)论文网

若函数在点存在偏导数,并且可以在处取得极值,那么有   

 (1)

反之,若函数在点满足(1),则称点为的稳定点。与一元函数的情形相同,如果存在偏导数,则其极值点必定是稳定点,但是稳定点未必是极值点。

定理1。4 (二元函数极值充分条件)

为了研究二元函数在点取得极值的充分条件,我们假设存在二阶偏导数,并记

       (2)

它称为的黑塞矩阵。

设二元函数在点的某个邻域上存在二阶连续偏导数,且是的驻点。如果为不定矩阵,那么在点处不存在极值;如果为正定矩阵,那么在点处可以取得极小值;如果为负定矩阵,那么在点处可以取得极大值。

证明  由在点的二阶泰勒公式,再根据条件,有

。

由于正定,所以对任何,都使二次型。因此存在一个与无关的正数,使得。从而对于充分小的,只要就有     即在点可以取极小值。

同理可证如果为负定矩阵,那么在点处可以取得极大值。

当不定时,在点处不取极值。这是因为如果取极值(假设取极大值),则沿任意过点的直线也可以取得极大值。由一元函数取极值的充分条件,是不可能的(否则将取极小值),故。而

这表明必须是负半定的,同理,如果取小值,则将导致必须是正半定。这就是说,如果在点取得极值时,那么必须是正半或负半矩阵,但这与我们假设的相矛盾了。

推论1。1 若函数如定理2。2。2所设,是函数的一个稳定点。即 。令 则

(1)当时,;

(2)当时,则极值不存在;

(3)当时,则极值不能够确定是否取到。

1。3 多元函数极值的定义

定义1。3 设元函数的定义域是的某个邻域,如果对这个定义域内的所有异于的点都满足,

则称函数在点有极大值;类似的,若在这个定义域内所有异于的点都满足,

则称函数在点有极小值。文献综述

定理1。5(多元函数极值必要条件)

若元函数在点存在偏导数,且在处取得极值,那么这个点符合 。这是必要条件