and  the  eigenvalues  of  the  matrix  M  are k

¼ 0  and k

¼ a2  þ ð1 — xÞ  ,  respectively。

að1 — xÞ    ð1 — xÞ2

1 2

。

Hence, the matrix M is a semi-positive definite one, i。e。 M  P 0。 For any vector x – 0;  xT Mx ¼ 0 implies x ¼ h           —

。 。

1—x 。

a

1

where

h 2 R and h – 0。 Consider the set U ¼  n 2 R2  : nT n ¼ 1  。 Then U is a bounded closed set。 By Claim 1, if /

¼ 0; fðtÞ ¼ 0, which

implies that nT Mn – 0。 Since the function nT Mn is continuous with respect to n and for any n 2 U; nT Mn – 0, we have that min nT Mn, denoted by k  , exists and is larger than   zero。

Consider (23) which can be rewritten  as

where k· k2 presents the 2-norm。 Since f

2 U; /

P k1jjfjj

P k1 y2,  which  implies  that  j/m j1þa   P k1þa

jy2 j1þa 。 Therefore, we

have

1 — xÞ2 b2j/

kfk2 m

2a

j

2 2 1

ð1 — xÞ2 b2j/  j2a

!2ðy1 ; y2Þ¼ 

  2a

ð m

    a 

  2a              P

  2a

  2a 

m

  2a           

2 4a 4a 4a 2a 4a

1þa 2a 1þ

1þa

1þa

1þa

1þa 2a

1þa

1þa

1þa      1   1þa

1þa

q1    j/mj

þ q2    j/m j

þ q3   jy2 j

q1    j/m j

þ q2    j/mj

þ q3   ðk Þ

j/mj

2   2 2a 2   2

P ð1 — xÞ  b        j/mj ,  ð1 — xÞ  b   D   /

q0

n  1þa

2a

j  m j

n  1þa

  4a

þ j/m j1þa

1þa     1   1þa oo

q0