xiðk þ 1Þ¼ —ða — x — 1Þxi ðkÞ— xxi ðk — 1Þþ a1xl ðkÞþ a2xg ðkÞ ð8Þ

with  xi ð0Þ ¼ x0   and  xi ð1Þ ¼ ð1 — aÞx0  þ xv0  þ a1xl ð0Þþ a2xg ð0Þ。

Let xi ðk þ 1Þ ¼ xi ðkÞþ vi ðk þ 1Þ and xi ðk — 1Þ ¼ xi ðkÞ— vi ðkÞ。 Consequently, the widely used form of the PSO algorithm pre- sented  by  (1)  can  be  derived  in  terms  of   (8)。

Consider another case of Dt ¼ Dk > 0 and t ¼ k。 We obtain the GPSO algorithm [13]   as

x ðk þ DkÞ¼ c x ðkÞþ c x ðk — DkÞþ Dk2ða x ðkÞþ a x ðkÞÞ ð9Þ

with

c1  ¼ 2 — ð1 — xÞDk — aDk c2  ¼ ð1 — xÞDk — 1

Similarly, we rewrite the Eq。 (9) based on the position and the velocity as

( x ðkÞþa xg ðkÞ 。

vi ðk þ DkÞ¼ ð1 — ð1 — xÞDkÞvi ðkÞþ aDk。a1    l

xi ðk þ DkÞ¼ xi ðkÞþ vi ðk þ DkÞDk

2

a1 þa2

— xiðkÞ

ð10Þ

As pointed out by Fernández Martínez et al。 [13], the particle swarm movement controlled by the GPSO algorithm be- comes more elastic and less damped when Dk ! 0。

Remark 3。 Both the PSO algorithm (1) and the GPSO algorithm (10) can be derived by the same continuous-time model (6)。 The motivation of the GPSO algorithm proposed by Fernández Martínez et al。 [13] is that the search performance of the GPSO algorithm approaches to that of the corresponding continuous-time model when Dk ! 0。

3。2。Analysis on the continuous-time model of particle swarm optimization

In  this  subsection,  we  will  analyze  the  convergence  characteristic  of  the  PSO  algorithm。  Let  ni ðtÞ ¼ xi ðtÞ— pi ðtÞ,       where

a1 xl ðtÞþa2 xg ðtÞ

pi ðtÞ ¼ 

a1 þa2 , and introduce ni ðtÞ into the continuous-time model of the PSO algorithm (6)。 We obtain

€ni ðtÞþ p€iðtÞþ ð1 — xÞðn_ i ðtÞþ p_ i ðtÞÞ þ aðni ðtÞþ pi ðtÞÞ ¼ a1xl ðtÞþ a2xg ðtÞ

Then, we have

€ni ðtÞþ p€iðtÞþ ð1 — xÞðn_ i ðtÞþ p_ i ðtÞÞ þ aðni ðtÞþ pi ðtÞÞ ¼ api ðtÞ

Finally, we derive

€ni ðtÞþ ð1 — xÞn_ i ðtÞþ ani ðtÞ¼ —p€i ðtÞ— ð1 — xÞp_ i ðtÞ ð11Þ

Let y1 ðtÞ ¼ ni ðtÞ and  y2ðtÞ ¼ n_ i ðtÞ。 Then, the Eq。 (11)  can be  rewritten as

。 y_ 1ðtÞ¼ y2ðtÞ