1。3。5 Mikusinski算符演算理论的概念

定义1。1 设C是定义在0≤x<∞上的复值连续函数f={f(x)}的全体，以一般的加法和数乘以及其卷积

f∙g={∫_0^x▒〖f(ξ)g(x-ξ)dξ〗}    (f,g∈C)                                        (1。1)

作为乘法运算。 根据Titchmarsh定理，我们能够得出C是一个无零因子的整环，从而将它扩充为商域，也就是Mikusinski算符域Q。 对于每个x∈Q，都有分式，即算符x=a/b  ( a,b∈C，b≠0)。

    特别对定义在[0,+∞)上恒等于1的函数，记作{1}∈C，且对于每个f={f(x)}∈C

有{1}∙{f(x)}={∫_0^x▒f(ξ)dξ}

在自然嵌入意义下，算符域Q中含有复数域C以及L（0≤x<∞上局部绝对可积函数f={f(x)}的全体），此外，积分算符l={g(x)}，微分算符r=1/l，移动算符h^τ=r{H_τ (x)}  (τ>0)也是Q中常用的算符。 此处

g(x)={█(0     x<0@1     x≥0)┤     H_τ (x)={█(0     x<τ@1     x≥τ)┤

定理1。1 若函数a={a(x)} 在[0,+∞)上有连续导函数a'={a'(x)},则有

ra=a^'+a(0)        来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com   (1。2)

其中a(0)是函数a在t=0时的值。 

于是我们有

r{e^cx }=1+c{e^cx }

即

{e^cx }=1/(r-c)                                                                  (1。3)

定义1。2 算符的一般公式为

u^((i) )=r^i u-r^(i-1) u(0)-⋯-ru^((i-2) ) (0)-u^((i-1) ) (0)                           (1。4)

定理1。2 在算符收敛意义下，对每一个τ>0，f={f(x)}∈L，g={g(x)}∈L，有如下结论：

h^τ {f(x)}={f(x-τ)}                                                        (1。5)

h^(-τ) {f(x)}={f(x+τ)}                                                       (1。6)

其中

{f(x-τ)}={█(0,                  0≤x<τ@f(x-τ),    0<τ≤x)┤                                          (1。7)

定理1。3 移动算符幂级数

∑_(n=0)^∞▒〖a_n f^n h^nτ 〗     (a_n 为复数,n=0,1,2,⋯)                                      (1。8)

恒为收敛算符；

定理1。4 对每个非零常数b和自然数k，